Matemática – ideia 05

Escrito por Brendon Borck:

Um lema algébrico utilizado em desigualdades e disseminado através do matemático pelo qual o lema recebe seu nome. O lema de Titu nos oferece uma segunda maneira de utilizar a desigualdade de Cauchy:

$\dfrac{a_1^2}{b_1} + \dfrac{a_2^2}{b_2} + \dfrac{a_3^2}{b_3} + ... + \dfrac{a_n^2}{b_n} \ge \dfrac{(a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n)^2}{b_1 + b_2 + b_3 + ... + b_n}$

Prova:

A prova é simples e consiste no rearranjo da desigualdade de Cauchy:

$(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + ... + x_n^2) (y_1^2 + y_2^2 + y_3^2 + ... + y_n^2) \ge (x_1 y_1 + x_2 y_2 + x_3 y_3 + ... + x_n y_n)^2$

Basta substituir $x_k = \dfrac{a_k}{\sqrt{b_k}}$ e $y_k = \sqrt{b_k}$ e a desigualdade torna-se:

$(\dfrac{a_1^2}{b_1} + \dfrac{a_2^2}{b_2} + \dfrac{a_3^2}{b_3} + ... + \dfrac{a_n^2}{b_n} ) (b_1 + b_2 + b_3 + ... + b_n) \ge (a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n)^2$

Para finalizar passe a soma de $(b_1 + b_2 + b_3 + ... + b_n)$ para o “outro lado” multiplicando.

Mas e a prova da desigualdade de Cauchy? Sua prova usual consiste em expansão de quadrados.

Considere a função $F(j) = (x_1 - y_1 j)^2 + (x_n - y_n j)^2 + ... + (x_n - y_n j)^2$

Expandindo teremos:

$F(j) = (x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + ... + x_n^2) - j (2x_1 y_1 + 2x_2 y_2 + 2x_3 y_3 + ... + 2x_n y_n) + j^2 (y_1^2 + y_2^2 + y_3^2 + ... + y_n^2)$

Como $F(j) \ge 0$ já que é uma soma de quadrados, então o discrimante é menor ou igual a zero. Essa última desigualdade é suficiente para encontrarmos Cauchy após a expansão.

(Esse é um bom jeito de provar Cauchy, já que é mais fácil enxergar sua igualdade. Dica: ela ocorre quando o determinante é zero, ou seja, F(j) precisaria ser zero e portanto todos quadrados que compõem sua soma também.

Problemas:

1. Se $a,b,c \in \mathbb{R_{+}}$, então: $\dfrac{2}{b+c} + \dfrac{2}{a+c} + \dfrac{2}{a+b} \ge \dfrac{3}{a+b+c}$.
2. (África do Sul – 95) Se $a,b,c,d$ são reais positivos prove que: $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{4}{c} + ... + \dfrac{16}{d} \ge \dfrac{64}{a+b+c+d}$
3. (Desigualdade de Nesbitt) Se $a,b,c \in \mathbb{R_{+}}$, então: $\dfrac{a}{b+c} + \dfrac{b}{a+c} + \dfrac{c}{a+b} \ge \dfrac{3}{2}$.
4. Se $x_1, x_2, ... , x_n$ são reais positivos. Denote $s$ como a soma de todos eles, então prove que: $\sum_{k=1}^{n} \dfrac{s}{s-x_k} \ge \dfrac{n^2}{n-1}$
5. (IMO – 95)  Se $a,b,c \in \mathbb{R_{+}}$ e $abc = 1$, então: $\dfrac{1}{a^3(b+c)} + \dfrac{1}{b^3(a+c)} + \dfrac{1}{c^3(a+b)} \ge \dfrac{3}{2}$.