Semana 49 (14 de maio de 2019)

Iniciante

Existem inteiros positivos $a,b,c,d$ satisfazendo a seguinte equação?

$a^4+2b^4+4c^4+8d^4=16abcd$

Intermediário

Sejam $x_1,x_2,...,x_a$ inteiros positivos menores ou iguais a $b$ e $y_1,...,y_b$ inteiros positivos menores ou iguais a $a$. Prove que é possível escolher alguns elementos da primeira sequência com soma $X$ e alguns da segunda com soma $Y$ (sem repetição de elementos nas escolhas) de modo que $X=Y$.

Avançado

As arestas de um poliedro são orientadas de modo que cada vértice possui ao menos uma aresta entrando e uma saindo. Prove que há uma face desse poliedro cujas arestas formam um ciclo orientado.