Matemática – Semana 13

Problema Inciante

Resolva, em números reais, o sistema:

$x+\dfrac{1}{y}=y+\dfrac{1}{z}=z+\dfrac{1}{x}$

$xyz=1$

Problema Intermediário

Prove que não existem inteiros positivos $x$ e $y$ tais que $x^3+y^3=2^{2009}$.

Problema Avançado

Seja $n\ge 2$ um inteiro com divisores $1=d_1<d_2<...<d_k=n$. Prove que $d_1d_2+d_2d_3+...+d_{k-1}d_k$ é sempre menor do que ou igual a $n^2$ e depois determine quando ele é um divisor de $n^2$.