Matemática - Semana 18

Iniciante

Se $p \neq 5$ é um primo ímpar, prove que $(p^2-1)$ ou $(p^2+1)$ é divisível por 10.

Intermediário

Cada ponto de coordenadas inteiras no plano cartesiano é coberto com as cores $1, 2, ..., n$. Mostre que existe um retângulo formado com vértices de mesma cor.

Avançado

Considere um tabuleiro $a \times b$ $(a \rightarrow horizontal, b \rightarrow vertical)$. Temos dois tipos de peças: $1 \times m$ ($1$ quadrado de altura e $m$ de largura, que só podem ser usadas na horizontal) e $n \times 1$ ( $n$ quadrados de altura e $1$ de largura, que só podem ser usadas na vertical).

Assuma que o tabuleiro foi completamente coberto por essas peças sem sobreposições. Prove que $m|a$ ou $n|b$.