Matemática - Semana 19

Iniciante

Prove que não existem $x_1,x_2,...,x_{14}$ inteiros tais que $x_1^4+x_2^4+...+x_{14}^4=1599$.

Intermediário

Prove que para todos $x,y,z$ reais positivos temos $x^5+y^5+z^5 \ge x^3yz+y^3xz+z^3xy$.

Avançado

Mostre que não existe uma função $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ que satisfaz:
(a) $f(2)=3$;
(b) $f(mn)=f(m)f(n) \ \forall \ m,n \in \mathbb{N}$;
(c) $f(m)<f(n)$ se $m<n$.