Soluções Matemática – Semana 23

Iniciante

$3^{2^n}+1 \equiv (-1)^{2^n}+1 (\mod 4)$ mas $2^n$ é par para $(-1)^{2k}+1 \equiv 1^k+1 \equiv 1+1 \equiv 2 (\mod 4)$, isto quer dizer que $3^{2^n}+1$ é par e não múltiplo de $4$, como queríamos demonstrar.

Intermediário

Pela identidade de Vandermonde temos:

${2p \choose p} = {p \choose p} {p \choose 0} + {p \choose 1} {p \choose p-1} + ... + {p \choose p} {p \choose 0}$

Mas veja que para $1 \le k \le p-1$ temos que $p$ divide ${p \choose k}$, mas perceba que ${p \choose p} {p \choose 0} = 1$, então temos que ${2p \choose p} \equiv 2 (\mod p^2)$.

Avançado

Temos que:

$f(x) + f(\dfrac{1}{1-x}) = x$ (1)

Chame $y=\dfrac{1}{1-x}$, então temos que:

$f(y) + f(\dfrac{1}{1-y}) = y$

$f(\dfrac{1}{1-x}) + f(\dfrac{x-1}{x}) = \dfrac{1}{1-x}$ (2)

Chame $z=\dfrac{1}{1-y}=\dfrac{x-1}{x}$, então temos que:

$f(z) + f(\dfrac{1}{1-z}) = z$

$f(\dfrac{x-1}{x}) + f(x) = \dfrac{x-1}{x}$ (3)

Somando (1) e (3) temos:

$2f(x) + f(\dfrac{x-1}{x}) + f(\dfrac{1}{1-x}) = x + \dfrac{x-1}{x}$

Substituindo por (2) temos:

$2f(x) + f(\dfrac{x-1}{x}) + f(\dfrac{1}{1-x}) = x + \dfrac{x-1}{x}$

$2f(x) + \dfrac{1}{1-x} = x + \dfrac{x-1}{x}$

$f(x) = \dfrac{x^3-x+1}{2x(x-1)}$