Iniciante
É uma propriedade das elipses que $$a^{2}=b^{2}+c^{2}$$, portanto é trivial que $$a = 5$$ U.A.
Numa órbita solar, com as distâncias em U.A. e o tempo em anos, tem-se a seguinte relação:
$$\frac{T^{2}}{a^{3}}=1$$
Portanto, tem-se que o período orbital é:
$$T=\sqrt[2]{125}\approx 11,2$$ anos.
A excentricidade se dá pela razão $$e=\frac{c}{a}$$, então:
$$e=\frac{3}{5}=0,6$$.
Intermediário
(a) No ocaso, tem-se que a distância zenital é $$z=90^{\circ}$$, logo, com a equação do ângulo horário:
$$cosH = cosz sec\phi sec\delta – tan\phi tan\delta$$
$$cosH=-tan\phi tan\delta$$
(b) Com $$z=60^{\circ}$$ :
$$cosH = cos60^{\circ} sec\phi sec\delta – tan\phi tan\delta$$
$$cosH = \frac{sec\phi sec\delta}{2} – tan\phi tan\delta$$
Avançado
No universo plano, a energia mecânica é nula, logo a densidade crítica $$ \rho_{c}$$ é:
$$\frac{v^{2}}{2} = \frac{GM}{R}$$
$$\frac{(HoR)^{2}}{2} = \frac{4 \pi R^{3} \rho_{c} G}{3R}$$
Daí:
$$ \rho_{c} = 8,6378 \cdot 10^{-27}kg/m^{3}$$
Como a massa de matéria escura deve ser $$0,25 \cdot m_{universo}$$, a densidade da matéria escura deve ser $$0,25 \cdot \rho_{c}$$}
Assim, o número de neutrinos é:
$$n_{\nu} = \frac{0,25 \cdot \rho_{c}}{10^{-5} \cdot m_{elétron}}$$
$$n_{\nu} = 2,373 \cdot 10^{8} neutrinos/m^{3}$$