Iniciante
Seja $$\triangle ABC$$ um triângulo de área $$S$$ e $$M$$ um ponto em seu interior tal que
$$MA . BC + MB . CA + MC . AB = 4S $$
Prove que $M$ é o ortocentro de $$\triangle ABC$$.
Intermediário
Seja $$p$$ um primo da forma $$3k+1$$. Prove que a equação
$$p = x^{2} + 3y^{2}$$
possui solução $$(x,y)$$ nos inteiros.
Avançado
Sejam $$A_{1}, A_{2}, …, A_{2n}$$ pontos, nessa ordem, em uma circunferência. Ache a quantidade de maneiras de colorir os segmentos $$A_{i} A_{j}$$ $$(1 \le i < j \le 2n)$$ de maneira que
$$(i)$$ Exatamente $$n$$ segmentos são coloridos.
$$(ii)$$ Para cada $$i=1,2,…,2n$$, existe exatamente um segmento colorido que passa por $$A_{i}v$$.
$$(iii)$$ Nenhum par de segmentos coloridos se intersecta no interior da circunferência.