Escrita por Victor Ivo:
Uma ideia que você pode usar para encontrar forma de superfícies em equilíbrio é que, em geral, uma superfície em equilíbrio deve ser equipotencial, i.e, para qualquer ponto dela um potencial, a ser definido pelo problema, deve ser constante.
$$V(\vec{r})=cte$$
Esse potencial pode ser por exemplo um elétrico ou uma energia potencial por massa.
Prova:
Um fluido sem viscosidade, por definição, não pode ter forças de cisalhamento sendo exercidas sobre ele. Isso quer dizer que, dado o contato de uma região de fluido com outra por uma superfície, a força exercida em uma sobre a outra deve ser perpendicular a esta superfície. Perceba, contudo, que ainda existem outras formas de força externa que não necessariamente são perpendiculares à superfície do fluido.
Figura 1: Região do fluido sobre influência de pressão externa. Cada vetor representa uma contribuição de força pela pressão. Veja que cada vetor é perpendicular à superfície em que ele é aplicado.
Por exemplo, uma pilha vertical de água deve apenas exercer força, por pressão, verticalmente em outra, pois a superfície que separa uma parte da pilha de outra é horizontal.
Figura 2: Corpo cúbico sobre influência de pressão externa.
Desta maneira, tomando a superfície de um volume de água, e um pedaço do fluido que tenha ela como extremidade, a força resultante nele por forças externas deve ser compensada pela pressão, tal que a resultante é zero, sendo $$F_{//}$$ a força externa no fluido paralela à superfície:
$$F_{//}= \Delta p A$$
E no caso de, por exemplo, a água em contato com um ambiente de pressão constante, como a atmosfera, a pressão na superfície do fluido deve ser, por equilíbrio, igual a essa pressão e portanto constante em todo ponto da superfície. Isso implica que a força externa paralela à superfície para qualquer ponto na superfície do fluido deve ser nula, tal que:
$$F_{//}=0$$
De tal maneira, que a força, exercida sobre um pedaço da superfície, se for não nula, deve ser perpendicular a essa. Por essa razão é que a superfície da água é horizontal na terra, pois a força sobre um pedaço da superfície é o do peso, que é vertical,e portanto a superfície da água deve fazer noventa graus com essa força, sendo horizontal. E, se um potencial pode ser atrelado a essa força sobre o líquido, como sabemos que a força é o que gera a variação de energia potencial, então o potencial da superfície é constante. Portanto, a superfície isobárica de um fluido sem viscosidade é equipotencial, e, como queríamos demonstrar:
$$U(\vec{r}, m)=cte$$
Perceba que a energia potencial que usamos tem que ser aplicada num corpo, então ela ainda é função de alguma massa de fluido, mas você sempre pode definir um potencial como a energia potencial por massa, e este também deve se conservar, pois a energia potencial é em geral linear com a massa, ou quantidade de fluido:
$$V(\vec{r})=\frac{U(\vec{r})}{m}=cte$$
Exemplos em questão:
1-Água parada na terra:
Considere um volume de água parado na terra. Você, da sua experiência na terra, deve imaginar que a água tem sua superfície horizontal, mas caso você não vivesse em uma planeta você poderia deduzir isso do fato que a superfície d’água está em contato com a atmosfera (de pressão constante) e portanto sua superfície é equipotencial. A energia potencial de uma massa de água é apenas gravitacional, logo:
$$U(m,\vec{r})=mgy$$
Onde $$m$$ é a massa de água considerada e $$y$$ a altura dela em relação a um ponto de referência. O potencial dessa massa é portanto:
$$V(\vec{r})=gy$$
E $$V$$ ser constante implica que $$y$$ é constante, implicando que a água tende a manter sua superfície inteira na mesma altura. Perceba que, sendo a superfícia d’água horizontal, a gravidade faz um ângulo de noventa graus com a superfície, e isto deve ser verdade, pois do contrário a pressão na superfície d’água não seria constante -ela não seria isobárica.
2-Água sendo acelerada na terra:
Considere um volume de água sendo acelerado na terra com aceleração horizontal horizontal $$a$$. Veja que o raciocíonio que usamos para demonstrar as propriedades de equipotencial não valem aqui, pois o sistema está fora do equilíbrio, mas você pode analsiar o problema no refernecial do carro. No referencial do carro ele não está acelerado, contudo, existe uma força de inércia que atua da mesma maneira que um campo gravitacional de módulo $$|a|$$ e sentido contrário à aceleração do carro. Desta maneira, pode-se definir um potencial para o carro de maneira análoga ao gravitacional, como a gravidade está contra o eixo $$y$$ e a aceleração $$a$$ está contra o eixo $$x$$, o potencial de $$a$$ análogo é:
$$V_{a} (\vec{r})=ax$$
sendo o potencial total:
$$V=gy+ax=cte$$
Que é a equação de uma reta no plano $$xy$$. Sendo $$x_{o}$$ o ponto para $$y_{o}=0$$, temos:
$$V=gy+ax=ax_{o}$$
$$y=-\frac{a}{g} (x-x_{o})$$
Logo, o plano da superfície d’água faz um ângulo com a horizontal cuja tangente é $$\frac{a}{g}$$. Perceba que de novo a superfície faz um ângulo de noventa graus com a gravidade equivalente do sistema, como deveria ser, pois do contrário uma massa d’água sentiria força externa paralela à superfície do líquido e esta deixaria de ser isobárica. Perceba que fizemos o artifício de trocar de referencial para que o problema se transformasse em um de encontrar a forma de uma equipotencial, e em geral você sempre pode fazer isso, transformando um problema de fluidos se movimentado num problema simples de hidroestática.
3-Água rotacionando como um corpo rígido:
Considere um volume d’água num balde cilíndrico, tal que o balde gira com frequência angular $$\omega$$ e a água gira junto, exatamente como um corpo rígido. Perceba que esse problema não é de hidrostática, pois, como as massas de água estão girando elas estão aceleradas. Para transformar o problema em um de estática, basta olhar o problema no referencial que gira com $$\omega$$, junto com o balde. Neste referencial, todos os pontos no volume d’água, bem como o balde, estão parados. Contudo, agora o sistema está sujeito a um campo de forças, ie, uma gravidade artifical, que num dado ponto $$P$$ é igual à aceleração centrífuga $$\omega^{2} r$$ e aponta pra fora na direção que liga o ponto $$P$$ ao centro do balde. Desta maneira, neste referencial uma partícula de massa $$m$$ e a uma distância $$r$$ vai sentir uma força radial $$\vec{F}$$ tal que:
$$\vec{F}=m \omega^{2} r \hat{r}$$
Portanto, a diferença de energia de potencial dela entre dois pontos é:
$$\Delta U=U(\vec{r}_{2})-U(\vec{r}_{1})=-\int_{r_{1}}^{r_{2}} \vec{F} \cdot{dl}=-\int_{r_{1}}^{r_{2}} m \omega^{2} r dr$$
$$\Delta U= -m \omega^{2} r_{med} \Delta r=-m \omega^{2} (\frac{r_{1}+r_{2}}{2}) (r_{2}-r_{1})$$
Tomando $$r_{1}=0$$ e a energia potencial como zero para $$r=0$$:
$$U(\vec{r})=-\frac{1}{2} m \omega^{2} r^{2}$$
E o potencial envolvido é:
$$V(\vec{r})=-\frac{1}{2} \omega^{2} r^{2}$$
Somando com o potencial gravitacional, temos o potencial total conservado como:
$$V=-\frac{1}{2} \omega^{2} r^{2}+gy$$
Como a superfície da água é equipotencial e, sendo $$y_{o}$$ a altura do nível d’água para $$r=0$$:
$$V=-\frac{1}{2} \omega^{2} r^{2}+gy=gy_{o}$$
$$y=y_{o}+\frac{\omega^{2}}{2g} r^{2}$$
Problemas relacionados:
P1- Ache a equação da superfície d’água, i.e $$V(\vec{r})=cte$$, de um balde que se move no espaço com uma certa velocidade constante $$\vec{v}$$, dado que ele está na terra, onde a gravidade vale $$g$$. Esboce a superfície d’água.
P2- Ache a equação da superfície d’água, i.e $$V(\vec{r})=cte$$, de um balde que está num elevador, que tem aceleração horizontal $$a_{x}$$ e sobe com aceleração vertical $$a_{y}$$. Esboce a superfície d’água.
P3- Ache a equação da superfície d’água, i.e $$V(\vec{r})=cte$$, de um balde que está num elevador, que tem aceleração horizontal $$a_{x}$$ e sobe com aceleração vertical $$a_{y}$$. Agora o elevador está girando com uma velocidade angular $$\omega$$. Esboce a superfície d’água.
P4 (200 More Puzzling Physics Problems Q.28)- Um tubo em forma de U tem um líquido inicialmente em equilíbrio. Se uma bola é colocada em baixo de do braço esquerdo do tubo, como o nível de líquido nos dois braços muda? Esboce a superfície d’água.
Figura 3: Tubo da questão P3 tendo configuração de equilíbrio modificada devido à presença da bola.
P5 (200 More Puzzling Physics Problems Q.93)– Um certo volume de água está no recipiente da figura, tal que inicialmente ela preenche $$5 cm$$ da parte do frasco próximo à boca. As dimensões do frasco estão mostradas na figura. O frasco agora passar a rotacionar a uma taxa de 3 revoluções por segundo em torno de seu eixo vertical, e a temperatura do interior do frasco é constante ao longo dele. Depois de algum tempo, o líquido no frasco entra na configuração de equilíbrio. Esboce a distribuição de água no sistema no instante em que o estado de equilíbrio é alcançado.
Figura 4: Água no frasco antes dele passar a rotacionar
P6- Questão 07 da Lista 08 do Foice.
P7- Questão 08 da Lista 08 do Foice.