Iniciante:
Situação Física: Sabemos que a energia nesse caso será conservada, logo o carrinho chegará a outra extremidade com velocidade igual a que saiu na primeira. Esta velocidade inicial é, novamente por conservação da energia, igual a potencial da mola. Também sabemos que ao chegar a segunda extremidade com velocidade, como nada prende o carrinho à pista, este será arremessado, de um ângulo de $$45^0$$ graus, e assim temos um lançamento obliquo.
Resolução:
$$V_{f}=V_{i}$$
$$\frac{1}{2}mV_{i}^2=\frac{1}{2}kb^2\rightarrow V_{i}=b\sqrt{\frac{k}{m}}$$
Onde $$b$$ é a deformação da mola. Para o lançamento:
$$V_{x}=V_{i}\cos{(45^0)}$$ e $$V_{y}=V_{i}\sin{(45^0)}-gt$$
Representando $$x$$ o eixo horizontal e $$y$$ o vertical. No final da ascensão (subida) do carrinho, sua velocidade é zero. Logo, para o tempo de subida:
$$V_{y}=o\rightarrow \frac{V_{i}\sin{(45^0)}}{g}=t$$
Pela simetria do movimento, o tempo de subida é igual ao de descida, logo o tempo total de voo é duas vezes o tempo de subida:
$$T=2t=2\frac{V_{i}\sin{(45^0)}}{g}=\frac{2b\sqrt{\frac{k}{m}}\sin{(45^0)}}{g}$$
A distância horizontal percorrida, ou seja, a distancia a qual o carrinho volta a pista, se da por esse tempo multiplicado pela velocidade horizontal:
$$D=V_{x}T=\frac{1}{g}2V_{i}^2\cos{(45^0)}\sin{(45^0)}$$
Substituindo seno e cosseno (valores conhecidos):
$$sin{(45^0)}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$ e $$\cos{(45^0)}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$
Por fim temos:
$$D=\frac{b^2k}{mg}$$
Intermediário:
Situação Física: Como há variação do momento da areia, há uma força sendo aplicada. Não consideramos nada devido a queda pois foi dada como de altura desprezível. Para vermos o quanto de energia vira calor, vemos o trabalho feito e o tanto de energia cinética ganha.
Resolução:
a) A força que deve ser aplicada para que ocorra tal variação do momento da areia:
$$F=\frac{dP}{dt}=\frac{mV}{dt}=\frac{dm}{dt}V+\frac{dV}{dt}$$
Para que não haja variação na velocidade $$V$$ da esteira, temos:
$$\frac{dV}{dt}=0$$
$$\rightarrow F=\frac{dm}{dt}V=XV$$
b) Para o trabalho (por tempo) $$W$$ feito:
$$\frac{dW}{dt}=F\frac{dD}{dt}=FV=XV^2$$
Onde $$D$$ é a distância percorrida. E quanto a energia cinética ganha (por tempo) $$E$$, temos:
$$E=\frac{mV^2}{2}=\frac{dm}{dt}\frac{V^2}{2}+\frac{dV^2}{dt}\frac{m}{2}$$
Sendo a velocidade constante:
$$\frac{dV^2}{dt}\frac{m}{2}=0$$
Que nos leva a:
$$E=\frac{dm}{dt}\frac{V^2}{2}=X\frac{V^2}{2}$$
Para a energia perdida em calor:
$$Q=W-E=X\frac{V^2}{2}$$
Se pegarmos o tempo $$t$$ no qual tenha caído uma massa $$M$$ de areia sobre a esteira, temos que o calor absorvido será $$Q_{abs}Qt$$ ($$Q$$, tal como $$W$$ e $$E$$ foram obtidos em energia por tempo). Assim temos:
$$t=\frac{M}{X}\rightarrow Q_{abs}=Qt=X\frac{V^2}{2}\frac{M}{X}=\frac{MV^2}{2}$$
E como sabemos que a temperatura ganha se dá pela divisão do calor (energia) fornecido pela massa e pelo calor específico. Logo:
$$T=\frac{Q_{abs}}{Mq}=\frac{V^2}{2q}$$
Avançado:
Situação Física: Temos uma situação de oscilações acopladas, logo traçamos primeiramente as forças em cada massa, olhando cuidadosamente as deformações de cada mola. Depois deduzimos uma solução da forma $$A\sin{(\omega t)}+B\cos{(\omega t)}$$ para cada uma delas e olhamos casos como $$t=0$$ para acharmos as constantes. Após isso substituímos e temos as equações desejadas. se colocarmos que a massa de cima se move $$x_{1}$$ e a de baixo $$x_{2}$$, ambos no sentido horário, temos de lembrar que a deformação da mola a direita da massa $$1$$ se deforma um $$x_{2}-x_{1}$$ e a da esquerda, $$x_{1}-x_{2}$$.
Resolução:
$$X1=A\sin{(\omega t)}+B\cos{(\omega t)}$$ e $$x_{2}=C\sin{(\omega t)}+D\cos{(\omega t)}$$
Tendo como a massa $$1$$ a que sofre a força de arraste, chamemos sua aceleração de $$a_{1}$$. Adotemos $$x_{1}>x_{2}$$ (não faz diferença na verdade):
$$a_{1}=\frac{1}{m}[k(x_{2}-x_{1})-k(x_{1}-x_{2})]-F\cos{(\omega_{d}t)}$$
De forma semelhante:
$$a_{2}=\frac{1}{m}[-k(x_{2}-x_{1})+k(x_{1}-x_{2})]$$
Para a velocidade da massa $$1$$ temos:
$$\dot{x}_{1}=\omega A\cos{(\omega t)}-\omega B\sin{(\omega t)}$$
Como a velocidade inicial é nula, sabendo que seno de $$0$$ é zero e cosseno de $$0$$ é $$1$$, temos:
$$\omega A=0\rightarrow A=0$$
De maneira análoga encontramos que $$C=0$$. Derivando duas vezes cada função para obter $$a1$$ e $$a2$$, e colocando $$\dot{B}=0$$ (valendo também para $$\dot{D}$$), chegamos a:
(I) – $$-\omega^2 B+2\frac{k}{m}B-2\frac{k}{m}D=F$$
(II) – $$-\omega^2 D+2\frac{k}{m}D-2\frac{k}{m}B=0$$
Usando (II) obtemos a relação:
$$B=D\frac{2\frac{k}{m}-2\omega^2}{2\frac{k}{m}}$$
Substituindo, chegamos a:
$$B=-F\frac{(2\frac{k}{m}-\omega^2)}{\omega^2(4\frac{k}{m}-\omega^2)}$$
$$D=-2F\frac{k}{m\omega^2(4\frac{k}{m}-\omega^2)}$$
E, por fim:
$$x_{1}=-F\frac{(2\frac{k}{m}-\omega^2)}{\omega^2(4\frac{k}{m}-\omega^2)}\cos{(\omega t)}$$
$$x_{2}=-2F\frac{k}{m\omega^2(4\frac{k}{m}-\omega^2)}\cos{(\omega t)}$$
Deixe um comentário