Iniciante
Considerando que você está em uma ilha que só tem coqueiros, e que eles tenham em média $$12$$ metros de comprimento, com um tronco você pode cortá-lo em 6 pedaços de 2 metros de comprimento, o que é o bastante para suportar uma pessoa. 🙂
Intermediário
Distância da estrela M1 até o centro de massa:
$$D_{1} =\frac{M_{1} *0+M_{2}*D}{M_{1} +m_{2}} \Rightarrow D_{1}=\frac{M_{2}*D}{M_{1} +M_{2}}$$
Escrevendo a resultante centrípeta para a primeira estrela:
$$m_{1} \omega D_{1} =\frac{GM_{1} M_{2}}{D^{2}} \Rightarrow$$
$$\Rightarrow \omega^{2} D^{3}=G(M_{1}+M_{2})$$
Como o sistema é isolado e, portanto, a quantidade $$M_{1}+M_{2}$$, podemos dizer que a equação acima é constante, daí, utilizando a aproximação $$(1+x)(1+y)\approx 1+x+y$$, temos:
$$(\omega +\Delta \omega)^{2}(D +\Delta D)^{3}=\omega^{2} D^{3} \Rightarrow$$
$$\Rightarrow \frac{\Delta \omega}{\Delta D}=-\frac{3}{2} \frac{\omega}{D}$$
Avançado
a) Com a proporcionalidade dada na questão:
$$\frac{\rho_{r}}{\rho_{m}}=\frac{\Omega_{r}\rho_{c}(z+1)^{4}}{\Omega_{m}\rho_{c}(z+1)^{3}}$$
$$\therefore z=2999$$
b) Do efeito Doppler:
$$T=T_{0}(z+1) \Rightarrow T=8190k$$
c) Energia do fóton, substituindo com a lei de Wien:
$$E=\frac{hc}{\lambda} \Rightarrow E=\frac{hcT}{2.989*10^{-3}}$$
$$\therefore E=3.51eV$$
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