Iniciante:

Solução enviada por Bruno Said:

Resolucao – Said

 

Intermediário:

Situação Física: Sabemos que, por se tratar de um sistema girando, temos uma resultante centrípeta, a qual varia de acordo com a distância do centro de giro. Além disso, temos que a pressão no fundo do recipiente depende da altura da coluna de água acima do ponto de específico, da densidade do líquido e da gravidade. Logo vemos que há a necessidade de sabermos como se da a variação da altura da água com a distância do centro. Para isso a diversos métodos, ver o formato da equipotencial é uma delas. Contudo é mais simples olharmos com a gravidade aparente. Sabemos que a superfície da água é sempre perpendicular a gravidade aparente naquele ponto.

Resolução: Sendo a superfície perpendicular ao vetor aceleração, basta descobrirmos como se comporta tal vetor de acordo com a distância. Temos que a aceleração horizontal se da por $$\omega^2r$$ e a vertical por $$g$$. Chamando uma pequena variação na componente horizontal da superfície de $$dr$$ e a e uma pequena variação na vertical de $$dy$$ temos:

$$\frac{dy}{dr}=\frac{\omega^2r}{g}\rightarrow dy=\frac{\omega^2rdr}{g}$$

Integrando (caso não se lembre das regras básicas, já citadas em problemas passados, $$\int{xdx}=\frac{x^2}{2}$$):

$$y=\frac{\omega^2r^2}{2g}$$

E a pressão:

$$P=gh\rho=P_{0}+gy\rho$$

Sendo $$h$$ a altura no centro e $$y$$ descreve a variação desta. Por fim:

$$P=P_{0}+\frac{\rho\omega^2r^2}{2}$$

Avançado:

Situação Física: Neste caso, para que a aceleração seja constante, não pode haver força resultante na gota. Assim sendo, sua variação de momento tem que igualar a força aplicada sobre ela, no caso, o seu peso. O chave para este problema é observar bem como se pode escrever a variação de massa da gota: devido ao seu aumento de volume e devido as gotículas absorvidas em sua queda.

Resolução: Temos:

I  –  $$F=Mg=\frac{dp}{dt}=\frac{dM}{dt}v+\frac{dv}{dt}M$$

Escrevendo a variação de massa:

• Pela variação do volume:

II  –  $$M=\frac{4}{3}\rho\pi r^3\rightarrow dM=4\rho\pi r^2dr$$

Onde $$\rho$$ é a densidade da gota.

• Pelas gotículas absorvidas:

III  –  $$dM=\pi r^2\mu dy$$

Onde \mi é a densidade do meio, e neste caso olhamos a área aparente da gota, analisando o “cilindro” coberto por ela em uma queda de $$dy$$.

Comparando II e III chegamos a:

$$dr=\frac{\mu dy}{4\rho}$$

E então, podemos escrever a massa da gota em função de $$y$$:

$$M=\frac{\pi\mu^3y^3}{48\rho^2}$$

Escrevemos I deste modo:

$$\frac{\pi\mu^3y^3}{48\rho^2}g=\pi r^2\mu\dot{y}\dot{y}+\frac{\pi\mu^3y^3}{48\rho^2}\ddot{y}$$

Sendo $$dot{y}=\frac{dy}{dt}=v$$.Usando-se a relação entre $$\rho$$ e $$\mu$$ obtida, ou mesmo adaptando a variação de massa (escrevendo como a variação por volume, porém trocando $$r$$ por $$y$$), chegamos a:

$$\frac{gy}{3}=\dot{y}^2+\frac{\ddot{y}y}{3}$$

Por termos somente $$g$$ e $$y$$ (e derivadas deste) em nossa operação, sabemos que a solução de $$y$$ ficará em função somente de $$g$$. Logo podemos escrever:

$$\ddot{y}=Bg$$ ; $$\dot{y}=Bgt$$ ; $$y=\frac{Bgt^2}{2}$$

Obtendo:

$$\frac{Bgt^2}{6}=B^2gt^2+\frac{B^2gt^2}{6}\rightarrow B=\frac{1}{7}$$

Por fim:

$$\ddot{y}=\frac{g}{7}$$