Escrito por Antônio Ítalo
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Questão 1:
A velocidade escape da Terra é a velocidade mínima necessária para que um corpo na superfície da Terra seja lançado e não sofra mais a influência da sua atração gravitacional. Determine o valor da velocidade de escape para um corpo na superfície da Terra.
[spoiler title=’Assunto Abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]Gravitação universal e Energia[/spoiler]
[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Para resolução dessa questão é necessário lembrar que a energia potencial gravitacional é dada por:
$$E_{pot}=-\frac{GMm}{r}$$
Sabendo disso, iremos conservar a energia mecânica do sistema.
$$E_{cinetica final}=\frac{mv^{2}}{2}-\frac{GM_{terra}m_{corpo}}{R_{terra}}$$
$$v=\sqrt{\frac{2E_{cinetica final}}{m_{corpo}}+\frac{2GM_{terra}}{R_{terra}}}$$
Para que a velocidade seja mínima, a energia cinética final deve ser zero, então:
$$v_{escape}=\sqrt{\frac{2GM_{terra}}{R_{terra}}}$$
Pela lei da gravitação universal:
$$\frac{GM}{R_{terra}^2}=10$$ $$m/s^2$$
$$\frac{GM}{R_{terra}}=6,4*10^7$$ $$m^2/s^2$$
Substituindo na fórmula para a velocidade de escape:
$$v_{escape}=8*10^3*\sqrt{2}$$ $$m/s$$
Como não foi dada a raiz quadrada de dois, a resposta deve permanecer nesse formato.
[/spoiler]
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
$$8*10^{3}*\sqrt{2}$$ $$m/s$$
[/spoiler]
Questão 2:
Dois pêndulos de mesmo comprimento $$L$$ são montados de acordo com o diagrama a seguir. Num instante $$t=0$$ o pêndulo de massa $$M$$ é posicionado a uma altura $$h$$ com relação à horizontal e o pêndulo de massa $$m$$ permanece em repouso na vertical. Ao ser liberada a massa $$M$$ inicia o movimento colidindo com a massa $$m$$ ($$M>m$$). (desconsidere todos os efeitos devido a quaisquer tipos de atrito neste sistema).
a) Determine a altura máxima que as massas M e m atingem após a colisão com relação à horizontal. Use g para a aceleração gravitacional local.
b) Qual será o tempo necessário, após a primeira colisão entre as massas, para que as massas voltem a colidir novamente?
[spoiler title=’Assunto Abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]Colisões, energia e M.H.S[/spoiler]
[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) Primeiramente, devemos calcular a velocidade do pêndulo de massa $$M$$ no instante da colisão, para fazer isso, utilizaremos a conservação da energia:
$$\frac{Mv^2}{2}=Mgh$$
$$v=\sqrt{2gh}$$
Sabendo disso, agora conservaremos o momento nos instantes imediatamente antes e depois da colisão:
$$M\sqrt{2gh}=MV+MV^{‘}$$
Podemos também escrever a equação do coeficiente de restituição que, por ser uma colisão perfeitamente elástica, é igual à 1:
$$1=\frac{V^{‘}-V}{\sqrt{2gh}} \rightarrow V^{‘}=V+\sqrt{2gh}$$
Substituindo na conservação do momento se obtém:
$$V=\frac{M-m}{M+m}\sqrt{2gh}$$
$$V^{‘}=\frac{2M}{M+m}\sqrt{2gh}$$
Pela conservação da energia no movimento de subida de cada um, se obtém então:
$$\frac{MV^{2}}{2}=MgH$$
$$M(\frac{M-m}{M+m})^{2}*2gh=MgH$$
$$H=(\frac{M-m}{M+m})^{2}h$$
$$\frac{mV^{‘2}}{2}=mgH^{‘}$$
$$m(\frac{2M}{M+m})^{2}*2gh=mgH^{‘}$$
$$H^{‘}=(\frac{2M}{M+m})^{2}h$$
b) Para a resolução desse item será necessário considerar $$h<<L$$, pois assim os pêndulos poderão ser tratados como se estivessem realizando um M.H.S. Uma característica do M.H.S é que o período não depende da amplitude, portanto, ambos os pêndulos levarão meio período para voltar à posição da colisão e consequentemente colidir novamente. Esse intervalo de tempo é então:
$$\Delta t=\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$$
[/spoiler]
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) $$H=(\frac{M-m}{M+m})^{2}h$$
$$H^{‘}=(\frac{2M}{M+m})^{2}h$$
b) $$\Delta t=\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$$
[/spoiler]
Questão 3:
Um turista em viagem comprou uma câmera de $$35$$ $$mm$$ de distancia focal e que utiliza um filme de $$36$$ $$mm$$ de largura. Num certo momento ele vê um barco de $$12$$ $$m$$ de comprimento e deseja fazer uma imagem deste, porém nota que naquela posição a imagem do barco preenche apenas $$\frac{1}{4}$$ da largura do filme.
a) Qual a distância entre o turista e o barco?
b) Quanto deve ser a distância entre o turista e o barco para que a imagem preencha toda a largura filme.
[spoiler title=’Assunto Abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]Óptica[/spoiler]
[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) Primeiramente, sabemos que o filme possui $$36$$ $$mm$$ de largura, então, pode-se afirmar que o tamanho da imagem formada no filme é de $$9$$ $$mm$$ além disso, pode-se afirmar também que essa imagem é invertida, pois é real. Sabendo disso, pode-se escrever o aumento para o barco:
$$A=\frac{I}{O} \rightarrow \frac{35*10^{-3}}{35*10^{-3}-p}=\frac{-9*10^{-3}}{12} \rightarrow 420=9p-0,315$$
$$p=46,7$$ $$m \approx 4,7*10$$ $$m$$
b)Quando a imagem preencher todo o filme, terá tamanho de $$36$$ $$mm$$ e será invertida novamente, logo, escrevendo outra vez o aumento para o barco:
$$A=\frac{I}{O}$$
$$\frac{35*10^{-3}}{35*10^{-3}-p}=\frac{-36*10^{-3}}{12} \rightarrow \frac{35}{p-35*10^{-3}}=3 \rightarrow 35=3p-0,105$$
$$p=11,7$$ $$m \approx 1,2*10$$ $$m$$
[/spoiler]
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) $$p=46,7$$ $$m \approx 4,7*10$$ $$m$$
b) $$p=11,7$$ $$m \approx 1,2*10$$ $$m$$
[/spoiler]
Questão 4:
Certo fabricante de freezers indica que um dado modelo tem um consumo anual de $$730$$ $$kWh$$.
a) Assumindo que o freezer opere $$5$$ horas durante $$24$$ horas, qual a potência que ele consome quando em operação?
b) Se o freezer mantém a temperatura no seu interior em – $$5$$ $$ ^{\circ}C$$ num ambiente a $$20$$ $$ ^{\circ}C$$ qual é a máxima performance teórica deste modelo?
c) Qual é a máxima quantidade de gelo que este freezer consegue produzir em $$1$$ hora, a partir de água a $$20$$ $$ ^{\circ}C$$?
[spoiler title=’Assunto Abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]Termodinâmica[/spoiler]
[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a)O tempo total que ele atua em um ano é dado por:
$$\Delta t =5*365 \rightarrow \Delta t=1825$$ $$h \approx 2*10^{3}$$ $$h$$
Portanto, pode-se escrever:
$$E=Pot*\Delta t$$
$$730*10^3=Pot*1825$$
$$Pot=4*10^{2}$$ $$W$$
b)A máxima performance deve ser dada pelo coeficiente de performance de Carnot para refrigeradores, dado por:
$$e=\dfrac{Q_{F}}{W}=\dfrac{Q_{F}}{Q_{Q}-Q_{F}}=\dfrac{T_{F}}{T_{Q}-T_{F}}$$
$$e=\dfrac{268}{25}$$
$$e=10,72 \approx 11$$
Note que o coeficiente de performance pode sim ser maior que $1$, diferente do rendimento.
c) Pela definição do coeficiente de performance para um refrigerador, a potência com que o calor é retirado da água é:
$$Pot_{agua}=e Pot_{cons}=4288$$ $$W$$
Sendo assim, temos que o calor retirado da água em uma hora é:
$$Q_{F}=Pot_{agua}*\Delta t=1,54368*10^{7}$$ $$J \approx 1,54*10^{7}$$ $$J$$
A massa de gelo formada pode ser obtida então pela calorimetria do sistema:
$$Q_{F}=Q_{sensivel}+Q_{latente}=\Delta m \left( L_{a} + c_{a} \Delta T \right)$$
$$\Delta m=\dfrac{Q_{F}}{L_{a}+ c_{a} \Delta T} \approx 45,65$$ $$kg \approx 5*10$$ $$kg$$
[/spoiler]
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) $$400$$ $$W$$
b)$$8,53$$%$$\approx 9$$%
c) $$\Delta m \approx 45,65$$ $$kg \approx 5*10$$ $$kg$$
[/spoiler]
Questão 5:
Um peso de $$250$$ $$kg$$ é preso ao teto de uma sala por um fio fino de cobre. O sistema composto pelo fio e pelo peso tem seu modo de vibração fundamental em $$440$$ $$Hz$$. A temperatura da sala aumenta em $$40$$ $$^{\circ}C$$. Sabendo que o coeficiente de dilatação linear do cobre é de $$1,7*10^{-5}$$ $$^{\circ}C^{-1}$$. Faça uma estimativa da variação da freqüência do modo fundamental de vibração do fio com o aumento da temperatura.
[spoiler title=’Assunto Abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]Modos normais de vibração, Dilatação e relação de Taylor[/spoiler]
[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Para resolução dessa questão, primeiramente deveremos calcular a tração na corda escrevendo a segunda lei de Newton na vertical para o peso.
$$F_{resultante}=ma$$
Como $$a=0$$ $$m/s^2$$
$$T-P=0$$
$$T=250*10$$
$$T=2500$$ $$N$$
A partir disso, pode-se calcular a velocidade de propagação de uma onda nessa corda a partir da relação de Taylor:
$$V=\sqrt{\frac{T}{\mu_{0}}}$$
$$V=\sqrt{\frac{2500}{\mu_{0}}}$$
Lembrando da fórmula para a frequência fundamental de uma corda presa por duas extremidades fixas:
$$f_{fundamental_{0}}=\frac{V}{2L_{0}}$$
$$440=\frac{\sqrt{2500}}{\sqrt{\mu_{0}}*2L_{0}}$$
$$440=\frac{50,00}{\sqrt{\mu_{0}}*2L_{0}}$$
Sabendo que haverá uma dilatação devido ao aumento da temperatura, pode-se escrever:
$$L=L_{0}(1+\alpha \Delta T)$$
$$L=L_{0}*(1+1,7*10^{-5}*40)$$
Além disso, sabemos que a densidade é inversamente proporcional ao comprimento da corda, portanto, utilizando a aproximação binomial:
$$\mu=\mu_{0}*(1-1,7*10^{-5}*40)$$
$$\sqrt{\mu}=\sqrt{\mu_{0}}*(1-0,85*10^{-5}*40)$$
Portanto, pode-se calcular a nova frequência fundamental:
$$f_{fundamental}=\frac{50}{\sqrt{\mu}*2L}$$
$$f_{fundamental}=\frac{50,00}{2*L_{0}*(1+1,7*10^{-5}*40)(1-0,85*10^{-5}*40)*\sqrt{\mu_{0}}}$$
$$f_{fundamental}=440*(1-0,85*10^{-5}*40)$$
$$f_{fundamental}=439,8504$$ $$Hz\approx 4,4*10^{2}$$ $$Hz$$
Portanto:
$$\Delta f_{fundamental}=0,1496$$ $$Hz \approx 1,5*10^{-1}$$ $$Hz$$
[/spoiler]
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
$$0,1496$$ $$Hz \approx 1,5*10^{-1}$$ $$Hz$$
[/spoiler]
Questão 6:
Um carrinho de massa $$m$$ com velocidade $$v$$ movimenta-se sobre uma superfície horizontal conforme a figura abaixo. Este carrinho choca-se com uma mola de constante elástica $$k$$. (desconsidere todos os efeitos de quaisquer tipos de atrito neste sistema).
a) Qual o tempo total de colisão entre o carrinho e a mola (tempo em que ambos ficarão em contato)?
b) Faça uma estimativa razoável do impulso total fornecido pela mola após o choque.
[spoiler title=’Assunto Abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Colisões e M.H.S
[/spoiler]
[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) Ao observar o movimento do carrinho ao entrar em contanto com a mola, verifica-se claramente um M.H.S, entretanto, sua duração não é de um período, pois a partir do momento que a mola tem um comprimento maior que seu comprimento natural, essa perde o contato com o carrinho, portanto, pode-se afirmar que:
$$\Delta t=\frac{T}{2} \rightarrow \Delta t=\frac{2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}}{2}$$
$$\Delta t=\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$$
b)Como não há forças dissipativas realizando trabalho no sistema, pode-se afirmar que a velocidade com que o carrinho volta é igual à velocidade com que colide com a mola, portanto, pelo teorema do impulso:
$$I=\Delta p \rightarrow I=mv-(-mv)$$
$$I=2mv$$
[/spoiler]
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) $$\Delta t=\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$$
b) $$I=2mv$$
[/spoiler]
Questão 7:
Um feixe de elétrons (carga $$e$$ e massa $$m$$) é gerado a partir do aquecimento do filamento de um tubo de raios catódicos produzindo uma densidade volumétrica $$n$$ de elétrons. Todos estes elétrons são acelerados pela diferença de potencial $$V_{a}$$ como indicado na figura a seguir. Logo após a região de aceleração o feixe de elétrons entra numa região (de extensão $$L_{e}$$) de campo elétrico constante $$E$$ na direção $$y$$, sendo defletido até atingirem o ponto A na tela do tubo.
a) Determine a densidade de corrente de elétrons gerada após a aceleração dos elétrons pela diferença de potencial $$V_{a}$$.
b) Determine o valor da distancia $$d$$ na tela do tubo.
Obs – Utilize a mesma nomenclatura definida no enunciado do problema.
[spoiler title=’Assunto Abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Eletricidade
[/spoiler]
[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) Primeiramente, devemos calcular, através da conservação da energia, a velocidade adquirida pelos elétrons devido à diferença de potencial $$V_{a}$$:
$$eV_{a}=\frac{mv^{2}}{2} \rightarrow v=\sqrt{\frac{2eV_{a}}{m}}$$
Sabendo a velocidade dos elétrons, agora podemos calcular o volume de elétrons que passa por uma área $$A$$ por segundo, ou seja, a vazão de elétrons $$S$$ que é calculada analogamente à vazão de um flúido por:
$$S=vA \rightarrow S=A\sqrt{\frac{2eV_{a}}{m}}$$
Sabendo o volume de elétrons que passa por essa área por segundo, podemos calcular o número de elétrons que passa pela mesma por segundo ($$N$$):
$$N=nS \rightarrow N=nA\sqrt{\frac{2eV_{a}}{m}}$$
Pode-se então agora calcular a carga que passa por essa área por segundo, ou seja, pode-se calcular a corrente ($$I$$):
$$I=eN \rightarrow I=neA\sqrt{\frac{2eV_{a}}{m}}$$
Sabendo a corrente, pode-se calcular então a densidade de corrente ($$J$$) simplesmente dividindo-a pela área, ou seja:
$$J=ne\sqrt{\frac{2eV_{a}}{m}}$$
b) Observe que para o cálculo de $$\Delta y$$ devemos levar em conta uma ambiguidade que ocorreu entre a figura e o enunciado do problema, no enunciado é falado que após a região de aceleração, os elétrons passariam por uma região de campo elétrico uniforme $$E$$ na direção $$y$$ com comprimento $$L_{e}$$, entretanto, na imagem, observa-se que a região de campo elétrico possui um comprimento não indicado e após a mesma há uma região livre de campo elétrico, tendo essa região comprimento $$L$$, durante a resolução desse item, então, consideraremos somente a situação descrita no enunciado e não a presente na figura. Sabendo disso, podemos ver que para o cálculo de $$\Delta y$$ precisamos apenas do tempo ($$t$$) que o elétron leva para atravessar a região e da aceleração do elétron na direção y, poderemos então a partir disso, calcular o desvio $$\Delta y$$ pelas equações do M.U.V. Começaremos calculando o tempo da travessia:
$$vt=L_{e} \rightarrow$$$$\sqrt{\frac{2eV_{a}}{m}}t=L_{e}$$
$$t=L_{e}\sqrt{\frac{m}{2eV_{a}}}$$
Agora calcularemos, pela segunda lei de Newton, a aceleração do elétron na direção y:
$$ma=eE \rightarrow a=\frac{eE}{m}$$
Sabendo disso, podemos agora calcular o desvio $$\Delta y$$:
$$\Delta y=\frac{at^{2}}{2}$$
$$\Delta y=\frac{\frac{eE}{m}(L_{e}\sqrt{\frac{m}{2eV_{a}}})^{2}}{2}$$
$$\Delta y=\frac{EL_{e}^{2}}{4V_{a}}$$
[/spoiler]
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) $$J=ne\sqrt{\frac{2eV_{a}}{m}}$$
b) $$\Delta y=\frac{EL_{e}^{2}}{4V_{a}}$$
[/spoiler]
Questão 8:
Um dos métodos utilizados por arqueólogos para estudar hábitos alimentares de antigas populações indígenas nas Américas é a partir da técnica conhecida como espectroscopia de massa por tempo de vôo usando isótopos de carbono $$^{12}C$$ (massa $$m_{1}$$) e $$^{13}C$$ (massa $$m_{2}$$), coletados a partir de restos de ossos humanos. A técnica de espectroscopia de massa consiste em primeiramente ionizar as espécies a serem estudadas, ou seja, fazer com que os isótopos percam um elétron cada, e então acelerá-los a certa velocidade com a ajuda de uma diferença de potencial. Os átomos ionizados, acelerados por uma diferença de potencial $$V$$, são injetados numa região de campo magnético uniforme $$B$$, perpendicular a velocidade dos isótopos.
a) Determine o raio das órbitas $$R_{1}$$ e $$R_{2}$$ respectivamente para as duas espécies $$^{12}C$$ e $$^{13}C$$, quando estas são injetadas na região de campo magnético uniforme B.
b) Obtenha o valor do raio $$R_{2}$$ como função de $$R_{1}$$, $$ m_{1}$$ e $$m_{2}$$.
[spoiler title=’Assunto Abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Energia e Magnetismo
[/spoiler]
[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) Primeiramente, devemos calcular a velocidade do íon de carbono 12 através do teorema da Energia cinética, podemos afirmar que:
$$eV=\frac{m_{1}v_{1}^2}{2} \rightarrow v_{1}=\sqrt{\frac{2eV}{m_{1}}}$$
Sabendo disso, podemos escrever a segunda lei de Newton na forma radial:
$$ev_{1}B=\frac{m_{1}v_{1}^2}{R_{1}} \rightarrow R_{1}=\frac{m_{1}v_{1}}{eB}$$
Substituindo a velocidade encontrada anteriormente, se obtém:
$$R_{1}=\frac{\sqrt{\frac{2m_{1}V}{e}}}{B}$$
Analogamente:
$$R_{2}=\frac{\sqrt{\frac{2m_{2}V}{e}}}{B}$$
Substituindo a carga do elétron informada no início da prova:
$$R_{1}=\frac{2,5*10^{9}}{B}\sqrt{2m_{1}V}$$
$$R_{2}=\frac{2,5*10^{9}}{B}\sqrt{2m_{2}V}$$
Onde todos os dados devem estar no S.I para que os raios sejam obtidos em metros.
b) Dividindo os raios $$R_{1}$$ e $$R_{2}$$ encontrados no item anterior:
$$\frac{R_{1}}{R_{2}}=\sqrt{\frac{m_{1}}{m_{2}}}$$
$$R_{2}=R_{1}\sqrt{\frac{m_{2}}{m_{1}}}$$
[/spoiler]
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) $$R_{1}=\frac{2,5*10^{9}}{B}\sqrt{2m_{1}V}$$
$$R_{2}=\frac{2,5*10^{9}}{B}\sqrt{2m_{2}V}$$
b) $$R_{2}=R_{1}\sqrt{\frac{m_{2}}{m_{1}}}$$
[/spoiler]
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