Iniciante:
Situação Física: Sendo o lançamento feito feito na horizontal e da mesma altura, temos que o tempo de queda independe da velocidade de disparo, e deste modo a distância percorrida terá uma relação direta com a velocidade de disparo. Sabemos que trabalho representa a variação de energia e é equivalente a força pela distância, a qual é constante em nosso caso. Associando isto a energia cinética do corpo podemos obter a segunda distância.
Resolução: Para obter o trabalho fazemos:
$$W=\frac{m}{2}v^2$$
Sendo a velocidade:
$$vt=D$$
Ou seja:
$$W=\frac{mD^2}{2t^2}$$
A velocidade do segundo corpo, no qual é feito o mesmo trabalho:
$$W=\frac{2m}{2}v’^2\rightarrow v’=\sqrt{\frac{W}{m}}$$
Já a segunda distância:
$$D’=v’t=\sqrt{\frac{W}{m}}t$$
Substituindo o trabalho:
$$D’=\sqrt{\frac{mD^2}{2mt^2}}t=\frac{D}{\sqrt{2}}$$
Intermediário:
Situação Física: Primeiramente se atente para o fato de que enquanto o rolamento do corpo for perfeito há somente atrito estático, e este não realiza trabalho. Além disso, sendo a colisão é alinhada com o centro, ou seja, não há torque, e por tal não altera a velocidade angular, somente a linear. Lembre-se que após colidir com a parede o anel retornará com velocidade no sentido oposto.
Resolução: Após a colisão, temos a seguinte velocidade linear:
$$v’=-ev$$
Agora, havendo atrito cinético, temos a seguinte relação para a velocidade linear:
$$Vm=mv’-mg\mu t$$
E para a angular:
$$mR^2\omega’=mR^2\omega-mg\mu Rt$$
O atrito cinético cessará quando o ponto de contato com o chão tiver velocidade nula. Isso ocorrerá quando:
$$V=-\omega’R\rightarrow -ev-g\mu t=-R\omega+g\mu t$$
Além disso, temos pela condição inicial:
$$\omega R=v$$
Por fim obtemos:
$$t=\frac{v(1-e)}{2g\mu}$$
Obtemos a velocidade:
$$V=-(\frac{1}{2}+e)v$$
Ou seja, independentemente do coeficiente de restituição elástica da colisão, é sempre para o sentindo oposto à vinda.
Avançado:
Situação Física: Pelos raios de luz possuírem velocidades diferentes em relação ao laboratório, chegaram ao anteparo (ou a lente que os focaliza) com fases diferentes, havendo interferência. Contudo neste caso lidamos com uma situação relativística.
Resolução: No referencial do laboratório, as velocidades dos raios de luz nos canos inferior e superior respectivamente:
$$c’=\frac{c}{n}$$
E para o superior, fazemos adição de velocidades relativísticas:
$$c”=\frac{\frac{c}{n}+u}{1+\frac{cu}{nc^2}}$$
Sendo a velocidade da água não tao grande, temos:
$$c”\approx(\frac{c}{n}+u)(1-\frac{u}{nc})\approx\frac{c}{n}+u(1-\frac{1}{n^2})$$
Send os raios de mesma frequência, temos:
$$f\lambda=v$$
E a quantia de comprimentos de onda em um tubo:
$$\frac{L}{\lambda}=\frac{fL}{v}$$
Para haver interferência destrutiva, a diferença de comprimentos de onda deve ser:
$$\Delta\lambda=n+\frac{1}{2}$$
E no mínimo temos $$n=0$$. Façamos então:
$$\Delta\lambda=L(\frac{f}{\frac{c}{n}}-\frac{f}{\frac{c}{n}+u(1-\frac{1}{n^2})})=Lf\frac{u}{c^2}(n^2-1)=\frac{1}{2}$$
Por fim:
$$u=\frac{1}{2}\frac{c^2}{Lf}\frac{1}{n^2-1}$$
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