Iniciante:
Situação Física: Temos de nos lembrar de alguns conceitos de lançamento, cinemática e conservação de energia. Para o projétil, temos que sua energia é dada pela potencial mais a cinética, sendo necessário se descobrir sua altura inicial, a qual podemos obter pela dada condição de o projétil atingir o local onde o mago inicialmente se encontrava, a uma distância $$D$$ da catapulta, e foi disparado com certa velocidade inicial horizontal, sendo que a velocidade nesta direção se conserva. Pelo raio que o Mago deveria percorrer para escapar do impacto, vemos a condição de velocidade mínima para a outra saída.
Resolução: Para a altura do projétil:
$$H=g\frac{t^2}{2}$$
E
$$D=V_0t$$
Deste modo
$$H=g\frac{D^2}{2V_0^2}$$
E assim obtemos sua energia:
$$E_1=\frac{1}{2}MV_0^2+M\frac{D^2g^2}{2V_0^2}$$
Já para a locomoção do Mago, temos:
$$vt=R\rightarrow v=\frac{RV_0}{D}$$
E logo a energia se da por:
$$E_2=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}m\frac{RV_0}{D}^2$$
Sendo a razão entre as energias:
$$\frac{E_1}{E_2}=\frac{M}{m}\frac{V_0^2+\frac{D^2g^2}{V_0^2}}{\frac{RV_0}{D}^2}$$
Intermediário:
Situação Física: Realizando uma sobreposição, fica fácil de obtermos o momento de inércia de um cilindro não maciço, e a partir disso, conservamos suas energias, assumindo rolamento perfeito, para obter as alturas.
Resolução: Momento de inércia do segundo cilindro, por sobreposição:
$$I_2=I_R-I_r=\frac{1}{2}m_1R^2-\frac{1}{2}m_2r^2=\frac{1}{2}m_1R^2-\frac{1}{2}m_2\frac{R^2}{4}$$
endo que para as massas, temos:
$$m_1=V_1\rho$$
E
$$m_2=V_2\rho$$
E para os volumes:
$$V_1=hR^2\pi$$
E
$$V_2=\frac{R^2}{4}\pi$$
E deste modo, temos:
$$m_1=\rho\pi hR^2$$
$$m_2=\rho\pi h\frac{1}{4}R^2\rightarrow m_2=\frac{1}{4}m_1$$
Voltando ao momento de inércia:
$$I_2=\frac{1}{2}m_1R^2-\frac{1}{32}m_1R^2=\frac{15}{32}m_1R^2$$
Para as energias:
$$E_1=\frac{1}{2}I_1\omega^2=m_1gH_1$$
$$E_2=\frac{1}{2}I_2\omega^2=(m_1-m_2)gH_2=\frac{3}{4}m_1hH_2$$
Deste modo a razão entre as alturas se da por:
$$\frac{H_1}{H_2}=\frac{3I_1}{4I_2}=\frac{3\frac{1}{2}m_1R^2}{4\frac{15}{32}m_1R^2}=\frac{4}{5}$$
Avançado:
Situação Física: Devemos nos lembrar também que a intensidade é proporcional ao quadrado do campo.
Resolução: Para a primeira polarização:
$$E_1=\frac{E_0}{2}$$
Para a segunda:
$$E_2=E_1\cos{(\alpha)}=\frac{E_0}{2}\cos{(\alpha)}$$
E para a terceira:
$$E_3=E_2\cos{(90-\alpha)}=\frac{E_0}{2}\cos{(\alpha)}\sin{(\alpha)}$$
Deste modo:
$$\frac{I_2}{I_0}=\frac{E_2^2}{E_0^2}=\frac{1}{16}\sin{(2\alpha)}^2$$
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