INICIANTE
(a) Pela geometria da elipse, o semieixo maior da órbita é calculado por:
$$a=\frac{a_{0} + a_{L}}{2}$$
Onde
$$a_{L}\approx 384$$ mil km
$$a_{0}\approx R_{T}=6370 km$$
Nessa última fórmula, consideramos uma órbita inicial com altitude baixa
$$a=195$$ mil km
(b) Pode-se chegar na fórmula da excentricidade a partir de:
$$r_{pericentro}=a(1-e)$$
$$r_{apocentro}=a(1+e)$$
Subtraindo uma da outra
$$r_{ap}-r_{pe}=a(1+e -1+e)$$
$$r_{ap}-r_{pe}=\frac{r_{ap}+r_{pe}}{2} 2e$$
$$e=\frac{r_{ap}-r_{pe}}{r_{ap}+r_{pe}}$$
Substituindo os valores
$$r_{ap}=a_{L}$$
$$r_{pe}=a_{0}$$
$$e=0,97$$
(c) O tempo de viagem pode ser calculado com a 3ª lei de Kepler
$$\frac{a^3}{\tau ^2}=\frac{GM_{T}}{4\pi ^2}$$
$$\tau = 2\pi \sqrt{\frac{a^3}{GM_T}}$$
Como a viagem é só do perigeu ao apogeu, sem retornar, temos
$$\Delta t=\frac{\tau}{2}$$
$$\Delta t=427 625 s$$
$$\Delta t=4,9 dias$$
(d) Para que a missão seja bem sucedida, o foguete deve se encontrar com a Lua no apogeu – 180º do ponto de partida, perigeu, tendo como referencial o centro da Terra. Então:
$$\omega _L \Delta t+\theta_L=\pi$$
$$\omega_L=\frac{2/pi a_L}{\tau _L}=\sqrt{\frac{GM_T}{a_L^3}}$$
$$\theta_L=2rad$$
$$\theta_L=114,9$$º
INTERMEDIÁRIO
(a) Similar ao exercício anterior
$$a=\frac{a_{T} + a_{S}}{2}$$
$$a=\frac{1 UA + 9,58 UA}{2}$$
$$a=5,29 UA$$
(b)
$$e=\frac{r_{ap}-r_{pe}}{r_{ap}+r_{pe}}$$
$$e=\frac{9,58 UA-1UA}{9,58 UA+1UA}$$
$$e=0,81$$
(c)
$$\Delta t = \pi \sqrt{\frac{a^3}{GM_{sol}}}$$
$$\Delta t = 6anos$$
(d)
Definimos:
- $$v_{T}$$ – velocidade orbital da Terra;
- $$v_{T1}$$ – velocidade relativa à Terra após aplicado o impulso;
- $$v_{TH0}$$ – velocidade no periélio da órbita de transferência relativa à Terra;
- $$v_{H0}$$ – velocidade no periélio da órbita de transferência;
- $$r_T$$ – raio da órbita geoestacionária;
- $$r_{TH0}$$ – distância à Terra no início da transferência efetiva
Para encontrarmos o excesso de velocidade (velocidade restante após o corpo escapar de um campo gravitacional), conservamos energia
$$\frac{mv_{T1}^2}{2}-\frac{GM_T}{r_T}=\frac{mv_{TH0}^2}{2}-\frac{GM_T}{r_{TH0}}$$
$$r_{TH0}\gg r_T$$
$$v_{T1}^2-\frac{2GM_T}{r_T}=v_{TH0}^2$$
Agora encontramos as velocidades e calculamos a velocidade perdida
$$v_{H0}=\sqrt{GM_{sol}( \frac{2}{a_T}-\frac{1}{a} ) }$$
$$v_{H0}=v_{TH0}+v_T$$
$$v_{TH0}=10,13km/s$$
$$v_{T1}=11,03km/s$$
$$v_{perdida}=\left| v_{TH0}-v_{T1}\right|$$
$$v_{perdida}=0,9 km/s$$
(e)
Definimos:
- $$v_S$$ – velocidade orbital de Saturno;
- $$v_{T0}$$ – velocidade relativa à Terra antes de aplicado o impulso;
- $$v_{S0}$$ – velocidade relativa a Saturno antes de aplicado o impulso;
- $$v_{S1}$$ – velocidade relativa a Saturno após aplicado o impulso;
- $$v_{H1}$$ – velocidade no afélio da órbita de transferência;
- $$r_S$$ – raio da órbita de Titã
Primeiro encontraremos o Delta V do impulso feito na Terra
$$\Delta v_T=\left| v_{T1}-v_{T0}\right|$$
$$v_{T0}=\sqrt{\frac{GM_T}{r_T}}$$
$$v_{T0}=3,08 km/s$$
$$\Delta v_T=7,95 km/s$$
Agora do impulso feito em Saturno
$$\Delta v_T=\left| v_{S1}-v_{S0}\right|$$
$$v_{S0}\approx v_{SH1}$$
$$v_{H1}=\sqrt{GM_{sol}( \frac{2}{a_S}-\frac{1}{a} ) }$$
$$v_{H1}=v_S+v_{SH1}=4,19km/s$$
$$v_{S0}=5,41 km/s$$
$$v_{S1}=\sqrt{\frac{GM_S}{r_S}}$$
$$v_{S1}=5,77km/s$$
$$\Delta v_S=0,36km/s$$
Para achar o Delta V total
$$\Delta v=\Delta v_T + \Delta v_S$$
$$\Delta v=8,31 km/s$$
(f) O impulso específico se relaciona com a velocidade de exaustão do foguete por:
$$u=I_{sp}g_0$$
sendo $$g_0$$ a gravidade a nível do mar
Pela equação de Tsiolkovsky (equação do foguete):
$$\Delta v=u ln(\frac{M_0}{M_1})$$
$$M_0=M_1 e^{\frac{\Delta v}{I_{sp}g_0}}$$
$$M_0=8,3 M_1$$
AVANÇADO
(a) No referencial da Terra:
$$\Delta t_T= \frac{D}{v}$$
$$\Delta t_T= \frac{4,24al}{0,6 al/ano}$$
$$\Delta t_T=7,07anos$$
No referencial das sondas
$$\gamma \Delta t_S=\Delta t_T$$
$$\gamma=(1-(\frac{v}{c})^2)^{-\frac{1}{2}}$$
$$\gamma=\frac{5}{4}$$
$$\Delta t_S=5,66 anos$$
(b)
$$z=\frac{\Delta \lambda}{\lambda}=\sqrt{\frac{1+\frac{v}{c}}{1-\frac{v}{c}}}-1$$
$$\lambda _{obs}=\lambda _{emit}\sqrt{\frac{1+\frac{v}{c}}{1-\frac{v}{c}}}$$
$$\lambda_{obs}=60cm$$
(c) O intervalo de tempo entre as mensagens é dado pelo tempo entre as emissões e o tempo que a luz leva para percorrer a distância percorrida
$$\tau _T= T + \frac{\Delta x}{c}$$
$$\Delta x=vT$$
$$T=\gamma \tau _S$$
$$\tau _T=\gamma \tau _S (1+\frac{v}{c})$$
$$\tau _T= 2 semanas$$
(d) Esse é o tempo que as sondas levam para chegar até Proxima Centauri mais o tempo que a mensagem leva para chegar até nós
$$T_c=\Delta t_T+\frac{D}{c}$$
$$T_c=11,31anos$$
(e) No referencial da Terra, a intervalo de tempo entre a chegada das mensagens na ida e na volta são, respectivamente:
$$\tau _i=\gamma \tau _S (1+\frac{v}{c})$$
$$\tau _i=2 semanas$$
$$\tau _v=\gamma \tau _S (1-\frac{v}{c})$$
$$\tau _v=0,5 semana$$
A viagem leva no total $$2\Delta t_T$$ e o número total de mensagens pode ser calculado por:
$$N=\frac{T_c}{\tau _i}+\frac{2\Delta t_T-T_c}{\tau _v}$$
$$N=588$$
Esse valor também pode ser calculado no referencial da sonda
$$N=\frac{2\Delta t_S}{\tau _S}$$
$$N=588$$
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