Escrito por Arthur Mendes
As vezes resolver um problema de Equilíbrio de ácidos e bases pode ser massante, repetindo as mesmas contas varias vezes e é comum cometer um deslize. A fim de facilitar esse processo, foi desenvolvida uma estratégia para resolver esses problemas com praticidade, chamada de gráfico alfa.
Essa técnica consiste em perceber que é útil expressar uma especie pela composição da solução, que é chamado $$\alpha$$ da espécie, que é definido como:$$\alpha _X = \dfrac{[X]}{[H_xA] + [H_{x-1}A^{-}] + [H_{x-2}A^{2-}]… + [A^{x-}]}$$ sendo $$X$$ qualquer uma das espécies derivadas do $$H_xA$$.
OBS: A soma de todos os alfas tem que dar um, afinal eles são porcentagens de uma certa especie.
PARA UM ÁCIDO MONOPRÓTICO “$$HA$$”:
$$Ka = \dfrac{[H_3O^+] * [A^-]}{[HA]} \Rightarrow [A^-] = \dfrac{Ka[HA]}{H_3O^+} \Rightarrow [A^-] + [HA] = [HA] + \dfrac{Ka[HA]}{H_3O^+} \Rightarrow [A^-] + [HA] = [HA]*(\dfrac{[H_3O^+] + [Ka]}{[H_3O^+]}) \Rightarrow \dfrac{[HA]}{HA + A^-} = \dfrac{[H_3O^+]}{[H_3O^+] + Ka}$$
Como $$\dfrac{[HA]}{[HA] + [A^-]}$$ é $$\alpha_{HA}$$:
$$\alpha_{HA} = \dfrac{[H_3O^+]}{[H_3O^+] + Ka}$$
Para o $$[A^-]$$, É só usar que a soma dos dois alfas obrigatoriamente dá um e resolver a equação, que resulta em: $$\alpha_{A^-} = \dfrac{Ka}{[H_3O^+] + Ka}$$
PARA UM ÁCIDO DIPRÓTICO “$$H_2A$$”:
Uma maneira mais geral do que a utilizada para um ácido monoprótico é a seguinte:
$$\alpha_{H_2A} = \dfrac{[H_2A]}{[H_2A]+[HA^-] + [A^{2-}]} \Rightarrow \alpha_{H_2A} = \dfrac{[H_2A]/[H_2A}{[H_2A]/[H_2A]+[HA-]/[H_2A] + [A^{2-}]/[H_2A]}$$
$$[HA-]/[H_2A]$$ Pode ser encontrado pelo Ka1, pois $$Ka_1 = \dfrac{[H^+]*[HA^-]}{[H_2A]} \Rightarrow \dfrac{[HA-]}{[H_2A]} = \dfrac{Ka_1}{[H_3O^+]}$$
$$[A^{2-}]/[H_2A]$$ Pode ser encontrado pela multiplicação de Ka1 e Ka2, pois $$\dfrac{[A^{2-}]*[H_3O^+]^2}{[H_2A]} = Ka_1*Ka_2 \Rightarrow \dfrac{[A^{2-}]}{[H_2A]} = \dfrac{Ka_1*Ka_2}{[H_3O^+]^2}$$
Substituindo, $$\alpha_{H_2A} = \dfrac{1}{1+Ka_1/[H_3O^+] + Ka_1*Ka_2/[H_3O^+]^2}$$.
Multiplicando tudo por $$[H_3O^+]^2$$, $$\alpha_{H_2A} = \dfrac{[H_3O^+]^2}{[H_3O^+]^2+Ka_1*[H_3O^+] + Ka_1*Ka_2}$$.
Para as outras espécies, só troque o denominador para a espécie desejada.
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]$$\alpha_{H_2A} = \dfrac{[H_3O^+]^2}{[H_3O^+]^2 + [H_3O^+]Ka_1 + Ka_1Ka_2}$$ $$\alpha_{HA^-} = \dfrac{[H_3O^+]Ka_1}{[H_3O^+]^2 + [H_3O^+]Ka_1 + Ka_1Ka_2}$$ $$\alpha_{A^{2-}} = \dfrac{Ka_1Ka_2}{[H_3O^+]^2 + [H_3O^+]Ka_1 + Ka_1Ka_2}$$ [/spoiler]
PARA UM ÁCIDO TRIPRÓTICO “$$H_3A$$”:
A demonstração ficará com você! Quando você estiver terminado, veja a resposta abaixo:
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]$$\alpha_{H_3A} = \dfrac{[H_3O^+]^3}{[H_3O^+]^3 + [H_3O^+]^2Ka_1 + [H_3O^+]Ka_1Ka_2 + Ka_1Ka_2Ka_3}$$ $$\alpha_{H_2A^-} =\dfrac{[H_3O^+]^2Ka_1}{[H_3O^+]^3 + [H_3O^+]^2Ka_1 + [H_3O^+]Ka_1Ka_2 + Ka_1Ka_2Ka_3}$$ $$\alpha_{HA^{2-}} = \dfrac{[H_3O^+]Ka_1Ka_2}{[H_3O^+]^3 + [H_3O^+]^2Ka_1 + [H_3O^+]Ka_1Ka_2 + Ka_1Ka_2Ka_3}$$ $$\alpha_{A^{3-}} = \dfrac{Ka_1Ka_2Ka_3}{[H_3O^+]^3 + [H_3O^+]^2Ka_1 + [H_3O^+]Ka_1Ka_2 + Ka_1Ka_2Ka_3}$$[/spoiler]
Dica: Repita o método para o ácido diprótico.
Agora você já deve ter percebido um padrão e consegue enxergar como vai ser a expressão para um ácido tetraprótico sem fazer contas.
Uma parte interessante do gráfico alfa é interpretar gráficos de “Alfa” em função do pH de forma interessante, como no gráfico a seguir de um ácido diprótico arbitrário “$$H_2A$$”:
Amarelo: $$H_2A\$$ Azul: $$H_A^-\$$ Roxo: $$A^{2-}$$
Um aluno experiente nessa técnica pode facilmente descobrir o $$\,pKa_1$$ e o $$pKa_2$$, simplesmente vendo os pontos onde as curvas se cruzam. Usando as expressões que encontramos e o fato da soma dos alfas serem 1, podemos perceber que quando $$\alpha_{H_2A} = \alpha_{HA^-}$$, $$pH = pKa_1$$, e o mesmo se aplica para descobrir o $$pKa_2\$$ usando a intersecção da curva roxa e azul. logo nesse gráfico percebemos que $$pKa_1 = 2 \$$ e $$pKa_2 = 7$$
Aplicação:
Sabendo que foi despejado 2 mol de um ácido diprótico $$H_2A$$ com $$pKa_1 = 2.37$$ e $$pKa_2 = 8.16$$ em uma solução tampão (O tampão não contem o átomo ‘A’ em nenhum dos compostos do equilíbrio) que contem 500 ml de água e o pH da solução final é 9, calcule a concentração da espécie completamente desprotonada. Despreze o volume do ácido despejado.
Dica: Tente resolver usando a expressão que encontramos pro ácido diprótico!
[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]Esse problema parece massante a primeira vista, mas como nós temos a concentração inicial do ácido (2 mol em 0.5 L, concentração = $$4 \, \frac{mol}{L}$$) e como $$[H_2A] + [H_A^-] + [A^{2-}]$$ é justamente a concentração inicial (pois a quantidade inicial de ácido é a unica fonte do A), o problema pode ser elegantemente resolvido usando gráfico alfa:
$$\alpha_{A^{2-}} = \dfrac{Ka_1Ka_2}{([H_3O^+]^2 +[H_3O^+]Ka_1 + Ka_1Ka_2} \Rightarrow \alpha_{A^{2-}} = \dfrac{10^{-2.37}*10^{-8.16}}{10^{-8}+10^{-4}*10^{-2.37}+10^{-2.37}*10^{-8.16}} \Rightarrow$$
$$\Rightarrow \alpha_{A^{2-}} = 0.8737$$
Mas como $$\alpha_{A^{2-}} = \dfrac{[A^{2-}]}{[A^{2-}]+[HA^-] + [H_2A]}$$ e $$[A^{2-}]+[HA^-] + [H_2A] = 4 \, \frac{mol}{L}$$, $$[A^{2-}] = 0.8737*4 \Rightarrow [A^{2-}] = 3.4948 \, \frac{mol}{L} $$
[/spoiler]