INICIANTE
A altura do polo elevado é igual à latitude do local. Como Raul observou Polaris:
$$\phi = 7,5^{\circ}N$$
Antes de estimarmos a longitude do local, temos que estimar a ascensão reta do sol para calcularmos o tempo sideral local de Brasília
$$\alpha _S=2\frac{h}{mes}(“20/05” – “23/03”)$$
$$\alpha _S \approx 4h$$
Com isso, podemos calcular o tempo sideral no fuso de Brasília.
$$TSL_{GMT-3:00}=H_S + \alpha _S$$
Sabendo que o ângulo horário do sol no fuso é
$$H_S=12h + H_{GMT-3:00}$$
$$TSL_{GMT-3:00}=23h45m$$
Agora calculando o tempo sideral no local onde Raul se encontra:
$$TSL=H_m+\alpha _m$$
$$H_m=6h$$ (estrela no equador se pondo)
$$TSL=11h30m$$
Por geometria, temos:
$$\Delta TSL= \Delta H=\Delta \lambda$$
$$\lambda – \lambda _{45^{\circ}W}=TSL – TSL_{GMT-3:00}$$
$$\lambda=131^{\circ}15’E$$
INTERMEDIÁRIO
Para achar a distância até a torre, consideramos apenas o plano do chão e as coordenadas de azimute. Reescrevendo em função do azimute do telescópio 1:
$$A’_1=0^{\circ}$$
$$A’_1=2^{\circ}$$
$$\alpha ‘=210^{\circ}$$
Representando as distâncias como vetores ($$\vec{r_1}$$, $$\vec{r_2}$$, $$\vec{D}$$), temos a relação, considerando o telescópio 1 na origem:
$$\vec{r_1}=\vec{r_2}+\vec{D}$$
$$\vec{r_1}=r_1\hat{x}$$
$$\vec{r_2}=r_2\cos (A’_2)\hat{x} – r_2\sin (A’_2)\hat{y}$$
$$\vec{D}=D\cos (\alpha ‘)\hat{x}-D\sin (\alpha ‘)\hat{y}$$
$$\hat{x}$$: $$r_1=r_2\cos (A’_2)+D\cos (\alpha ‘)$$
$$\hat{y}$$: $$0=- r_2\sin (A’_2)-D\sin (\alpha ‘)$$
$$r_2=-D \frac{\sin (\alpha ‘)}{\sin (A’_2)}$$
$$r_1=D(\cos (\alpha ‘)-\frac{\sin (\alpha ‘)}{\tan (A’_2)})$$
$$r_1=134,5m$$
Agora para achar a altura, basta calcular:
$$\tan (h_1)=\frac{H}{r_1}$$
$$H=192m$$
AVANÇADO
Considere uma massa acretada de uma grande distância até a órbita interna do disco de acreção. Sua energia energia pode ser descrita por:
$$\frac{mv_0^2}{2}-\frac{GMm}{r_\infty}=\frac{mv_{f}^2}{2}-\frac{GMm}{r}$$
$$\frac{v_{f}^2}{2}-\frac{GM}{r} \approx 0$$
$$\frac{v_{f}^2}{2}=\frac{GM}{r}$$
Conforme a massa é acretada, ela dissipa sua energia em forma de calor até a órbita mais interna. Dada uma taxa de acreção constante, num intervalo de tempo:
$$\Delta E=L \Delta t=\Delta m \frac{v_f^2}{2}$$
$$L=\frac{GM}{r}\frac{\Delta m}{\Delta t}$$
A taxa de acreção também pode ser escrita como:
$$L=\eta \frac{\Delta m}{\Delta t} c^2$$
Onde $$\eta$$ é a eficiência da conversão de matéria em energia térmica e $$c$$ é a velocidade da luz. Concluímos que:
$$\eta c^2=\frac{GM}{r}$$
$$\eta = \frac{2GM}{c^2} \frac{1}{2r}$$ ($$R_s$$ raio de Scharchild)
$$\eta = \frac{R_s}{2r}$$
Substituindo para $$r=3R_s$$
$$\eta = \frac{1}{6} \approx 17$$%