Iniciante
Os números 1,2,…,14 estão escritos em alguma ordem ao redor de uma circunferência. Chamamos de lindo um número que é a soma de seus dois vizinhos. Qual é a maior quantidade de números lindos que pode haver?
Dê um exemplo para a quantidade máxima de números lindos e explique por que não pode haver mais deles.
Intermediário
Seja $$ABCD$$ um quadrilátero inscritível no círculo 
com 
. Sejam 
e 
as reflexões de 
pelas linhas 
e 
, respectivamente, e seja 
a intersecção das linhas 
e 
. Suponha que o circuncirculo de
encontra em e 
, e o circuncirculo de 
encontra em e 
. Mostre que 
.
Avançado
A sequência de funções $${f_n(x)}_{n\geq1}$$ é definida recursivamente como segue:
$$f_1(x)=\sqrt{x^2+2}$$ , $$f_{n+1}(x)=\sqrt{x^2+6f_n(x)}$$
para todo inteiro $$n\geq 1$$. Para cada inteiro positivo n, encontre todas as soluções reais da equação $$f_n(x)=2x$$.