Soluções Física – Semana 1

Iniciante (Solução por João Guilherme Araújo)

Seja $$a_{A}$$ a aceleração linear da polia $$A$$ e $$a_{B}$$ e $$a_{C}$$ definidas de forma análoga. Sejam então $$\alpha_{A}$$, $$\alpha_{B}$$, $$\alpha_{C}$$ as acelerações angulares das polias $$A$$, $$B$$ e $$C$$.

$$!\bullet \ a_{B} = 4\frac{m}{s^2}; R_{B} = 10 cm = 0,1 m \Rightarrow \alpha_{B} = \frac{a_{B}}{R_{B}} = \frac{4}{0,1} = 40 \frac{rad}{s^2}$$

$$!\bullet \ \alpha_{A} = \alpha_{B}; R_{A} = 20 cm = 0,2 m \Rightarrow a_{A} = \alpha_{A}R_{A} = 40 \cdot 0,2 = 8 \frac{m}{s^2}$$

$$!\bullet \ a_{C} = a_{A} = 8 \frac{m}{s^2}; R_{C} = 50 cm = 0,5 m \Rightarrow \alpha_{C} = \frac{a_{C}}{R_{C}} = \frac{8}{0,5} = 16 \frac{rad}{s^2}$$

$$!\bullet \ \omega_{C} = \omega_{0_{C}} + \alpha_{C} t \Rightarrow \omega_{C} = 16 \frac{rad}{s}$$

 

Intermediário (Solução por Victor Sales)

a)

$$i)$$ No referencial do centro de massa, temos, adotando o sentido positivo para a direita:

$$V_1^\prime = \frac{m_2}{m_1 + m_2}V_0$$ e $$V_2^\prime = -\frac{m_1}{m_1 + m_2}V_0$$

$$ii)$$ Nesse referencial, a compressão será máxima quando a velocidade das duas massas forem zero. Então, por conservação da energia:

$$!\frac12 m_1 {V_1^\prime}^2 + {\frac12 m_2 {V_2^\prime}^2} = \frac12 k(\Delta x)^2$$
$$!(\Delta x)^2 = \frac{m_1 m_2}{k(m_1 + m_2)}V_0^2$$
$$!\Delta x = \sqrt{\frac{m_1 m_2}{k(m_1 + m_2)}}V_0$$

b)No referencial do centro de massa, os objetos vão apenas trocar o sentido das velocidades após a colisão. Isso é verdade porque as velocidades devem continuar na razão $$-\frac{m_2}{m_1}$$ para que o momento total seja zero. Então ambas devem, em módulo, ou aumentar ou diminuir. Mas se alguma dessas duas coisas acontecerem, a energia não será conservada.

Logo:

$$V_1 = -V_1^\prime + V_{CM}$$ e $$V_2 = -V_2^\prime + V_{CM}$$

$$V_1 = \frac{m_1 – m_2}{m_1 + m_2}V_0$$ e $$V_2 = \frac{2 m_1}{m_1 + m_2}V_0$$

Avançado (Solução por Fernando Frota)

Primeiramente, utilizamos o fato de que o $$\triangle{OAB}$$ é retângulo. Logo, a mediana relativa à hipotenusa vale metade da hipotenusa. Logo, como $$C$$ é o ponto médio do lado $$AB$$, então $$\overline{OC} = \overline{BC} = \overline{AC} = \frac{L}{2}$$, onde $$L$$ é o comprimento total da barra. Assim, o $$\triangle COB$$ é isósceles e o ângulo $$\angle COB$$ vale $$\alpha$$ também, como mostra a figura ao lado.

Assim, o vetor posição $$\vec{R}$$ do centro de massa $$C$$ é dado (sendo o vetor unitário $$\hat{x}$$ na horizontal e o vetor unitário $$\hat{y}$$ na vertical) por:

$$!\displaystyle{\vec{R} = (\frac{L}{2} cos \alpha) \hat{x} + (\frac{L}{2} sen \alpha) \hat{y}}$$

Derivando uma vez, encontramos a velocidade;

$$!\displaystyle{\vec{v} = (-\frac{L}{2} sen\alpha\dot{\alpha}) \hat{x} + (\frac{L}{2} cos\alpha \dot{\alpha}) \hat {y}}$$

Derivando novamente, encontramos a aceleração:

$$!\displaystyle{\vec{a} = (-\frac{L}{2} sen\alpha\ddot{\alpha} – \frac{L}{2} cos\alpha {\dot{\alpha}}^2) \hat{x} + (\frac{L}{2} cos\alpha\ddot{\alpha} – \frac{L}{2} sen \alpha {\dot{\alpha}}^2) \hat{y}}$$

Para encontrarmos o módulo da aceleração do ponto $$C$$, fazemos:

$$!\displaystyle{a^2 = {(-\frac{L}{2} sen\alpha\ddot{\alpha} – \frac{L}{2} cos\alpha{\dot{\alpha}}^2 )}^2 + (\frac{L}{2} cos\alpha\ddot{\alpha} – \frac{L}{2} sen \alpha {\dot{\alpha}}^2)^2}$$

$$!\displaystyle{a^2 = \frac{L^2}{4} {\dot{\alpha}}^4 + \frac{L^2}{4} {\ddot{\alpha}}^2}\ \ \ \ \ \ \ \ (1)$$

Assim, temos que encontrar o valor da velocidade angular e da aceleração angular da barra. Para isso, usamos que a distância $$\overline{OB} = L cos\alpha$$. Logo,

$$!\displaystyle{v = -L sen \alpha \dot{\alpha}}$$

$$!\displaystyle{\dot{\alpha} = – \frac{v}{L sen \alpha}}\ \ \ \ \ \ \ \ (2)$$

 Derivando a velocidade angular:

$$!\displaystyle{\ddot{\alpha} = \frac{v}{L sen^2 \alpha}cos\alpha\dot{\alpha} = -\frac{v^2 cos\alpha}{L^2 sen^3 \alpha}} \ \ \ \ \ \ \ \ (3)$$

Colocando as equações $$(2)$$ e $$(3)$$ na equação $$(1)$$:

$$!\displaystyle{a^2 = \frac{L^2}{4}[(-\frac{v}{Lsen\alpha})^4 + (-\frac{v^2cos\alpha}{L^2sen^3\alpha})^2]}$$

$$!\displaystyle{a^2 = \frac{L^2}{4}[ \frac{v^4}{L^4 sen^4\alpha} + \frac{v^4 cos^2\alpha}{L^4 sen^6 \alpha} ]}$$

$$!\displaystyle{a^2 = \frac{v^4}{4L^2}[\frac{sen^2\alpha + cos^2\alpha}{sen^6\alpha}] = \frac{v^4}{4L^2sen^6\alpha} }$$

Onde nós obtemos a resposta final:

$$!\displaystyle{a = \frac{v^2}{2Lsen^3\alpha}}$$