Equação Funcional de Cauchy- Parte 1

 

Nesta aula começaremos nosso estuda na Teoria das Equações Funcionais. Na maior parte dos problemas de olimpíadas sobre equação funcional, a teoria em si não é muito utilizada, e sim sacadas inteligentes e o desenvolvimento de várias pequenas descobertas no processo da solução do problema. Não obstante, há alguns casos em que a teoria pode ser extremamente útil (como no problema 1 da IMO 2019). Dito isso, começaremos com a mais famosa equação funcional para estudantes de olimpíadas: a Equação de Cauchy.

A equação

Consideremos a seguinte equação funcional $$ f : K \rightarrow K $$:

$$f(x+y) = f(x) +f(y) \forall x,y \in K $$

Onde $$K$$ é um conjunto fechado por soma. Por agora, consideremos que $$K$$ é o conjunto dos números reais.

Será que é possível encontrar todas as soluções $$f$$ para a equação acima? A resposta é sim, mas é muito mais complicado do que parece.

Inicialmente, conseguimos ver que a função linear $$ f(x)= cx $$ satisfaz a equação para qualquer $$c$$ que escolhermos. 

Por mais contra-intuitivo que pareça, há inúmeras soluções que não admitem esse formato linear. No entanto, podemos nos restringir a conjuntos mais simples para examinarmos a função.

Cauchy em $$\mathbb{Q}$$

E o que podemos dizer sobre $$f$$ se estivermos trabalhando em $$\mathbb{Q}$$? 

Teorema (Cauchy nos Racionais). Considere a equação de Cauchy no conjunto $$K=\mathbb{Q} $$. Uma função $$f$$ é solução se, e somente se, $$f$$ for linear.

Prova. Verificar que $$f$$ linear ($$f(x)=ax \forall x \in \mathbb{Q}, a \in \mathbb{Q}$$) é solução é imediato.

Agora provaremos o outro lado. Seja $$f$$ uma solução e $$f(1)=a, a\in \mathbb{Q}$$. Note que 

$$f(n+1)=f(n)+a$$  (i)

$$f(-(n+1))=f(-n)+f(-1)$$  (ii)

Por outro lado, 

$$a=a+f(0) \Rightarrow f(0)=0$$

Donde 

$$0=a+f(-1) \Rightarrow f(-1)=-a$$

Então por (i) e (ii) tiramos que $$f(n)=an$$ para todo $$n$$ inteiro (tente verificar a indução!). 

Agora note que se $$p,q$$ são inteiros com $$q$$ diferente de $$0$$, então:

$$qf(\frac{p}{q})= (q-1)f(\frac{p}{q}) +f(\frac{2p}{q})=…=f(p)=ap$$

Logo $$f(\frac{p}{q})=a\frac{p}{q}$$ para todos inteiros $$p,q$$. Isso estabelece o resultado.

 

Note que o motivo dessa prova não funcionar para os reais vem do fato que foi completamente necessário utilizar inteiros para conseguir somar valores de $$f$$ duma maneira adequada. 

 

Na parte 2 veremos como tratar da equação de Cauchy nos reais e também estabeleceremos condições em $$f$$ para ver quando podemos concluir que $$f$$ é linear.