Equação Funcional de Cauchy- Parte 2
Continuaremos aqui o conteúdo dado na primeira aula. A abordagem principal que faremos é sobre quando uma equação de Cauchy nos reais admite apenas soluções lineares.
Cauchy em $$\mathbb{R}$$
Vamos começar por um fato bem interessante, mostrando que as soluções não lineares de Cauchy são muito mais difíceis de representar. Este primeiro exemplo depende um pouco de cálculo e álgebra linear. Como ele não é absolutamente necessário para entender completamente o conteúdo, sinta-se confortável para pular caso não conheça muito bem essas áreas.
Teorema 1. Para cada real $$x$$, atribua o ponto $$V(x)=(x,f(x))$$ a ele. Se $$f$$ for não linear, então o conjunto $$\{ V(x) : x \in \mathbb{R} \}$$ é denso no plano.
Prova. Se $$f$$ é não linear, então existem $$a,b$$ reais não nulos com
$$\frac{f(a}{a} \neq \frac{f(b)}{b} $$
Em outras palavras, $$V(a),V(b)$$ são linearmente independentes no plano (Verifique!). Consequentemente, para todo ponto $$P$$ no plano, existem reais $$\alpha, \beta$$ tais que
$$P= V(a) \alpha +V(b) \beta $$
Como os racionais são densos nos reais, existem sequências de racionais $$\alpha _1, \alpha _2 ,…$$ e $$\beta _1 , \beta _2 ,…$$ convergindo para $$\alpha$$ e $$\beta$$ respectivamente. Agora basta verificar que
$$\lim (V(a) \alpha _n +V(b) \beta _n) =P$$
Para finalizar, temos $$f(a \alpha _n)= f(a) \alpha _n $$ uma vez que $$\alpha _n$$ é racional. De fato, basta utilizar daquele truque que vimos na última aula:
$$qf(\frac{pa}{q})=f(\frac{2pa}{q})+(q-1)f(\frac{pa}{q})=…=f(pa)$$
$$f(pa)=f(a)+f((p-1)a)=…=pf(a)$$
$$\Rightarrow f(\frac{pa}{q})=f(a)\frac{p}{q}$$
Logo
$$\lim V(a \alpha _n +b \beta _n) = \lim (V(a) \alpha _n +V(b) \beta _n) =P$$
Como desejado.
Agora vem a parte realmente importante desta aula.
Teorema 2. (Critério de Linearidade). Todas as condições a seguir são equivalentes:
$$\text{i}$$ $$f$$ é linear
$$\text{ii}$$ $$f$$ é limitada (unilateralmente limitada já é o suficiente) em algum intervalo aberto
$$\text{iii}$$ $$f$$ é contínua em um ponto
$$\text{iv}$$ $$f$$ é monótona em qualquer intervalo aberto
Prova. Para os que tem um olho afiado, já ficou visível que esse Teorema 2 é uma consequência imediata do Teorema 1. Para uma prova mais detalhada, veja que:
$$\text{iv} \Rightarrow \text{ii}$$
nesse intervalo. De fato, se $$f$$ é limitada num intervalo aberto $$(a,b)$$, podemos tomar um subintervalo fechado $$[c,d]$$ com $$a<c<d<b$$ e teremos que $$f$$ será limitada por $$f(c),f(d)$$ nesse intervalo (independentemente de quem seja maior entre $$f(c),f(d)$$.).
Para provar $$\text{ii} \Rightarrow \text{i}$$, suponha que $$f$$ é limitada superiormente por $$W$$ no intervalo $$(a,b)$$. Pelo o que vimos, se $$f$$ for não linear, então $$(x,f(x))$$ possuirá pontos suficientemente próximos de $$( \frac{a+b}{2} , W+1)$$, absurdo (Verifique!).
Para provar $$\text{iii} \Rightarrow \text{i}$$, suponha que $$f$$ é convergente num ponto $$a$$ e que o limite seja $$A=f(a)$$. Pelo o que vimos, se $$f$$ for não linear, há pontos em $$(x,f(x))$$ suficientemente próximos de $$(a,A+1)$$, absurdo (Verifique!).
Por fim, é claro que $$\text{i}$$ implica todas as outras propriedades.