INICIANTE
Nos círculos polares, o polo elevado dista $$\epsilon$$, onde $$\epsilon$$ é a obliquidade da eclíptica, do zênite. Consequentemente, o equador dista, no meridiano local superior, $$\epsilon$$ do horizonte.
Dessa forma, no Círculo Ártico, no solstício de inverno, a declinação do Sol será $$\delta=-\epsilon$$. Assim, ao meio dia solar verdadeiro, o Sol estará no horizonte. Pode-se desenvolver um raciocínio análogo para o Círculo Antártico.
No solstício de verão, o Sol também tocará o horizonte, no entanto, ainda no referencial Círculo Ártico, a declinação do Sol é $$\delta=+\epsilon$$. Assim, o Sol tocará o horizonte quando cruzar o meridiano local inferior, ou seja, à meia noite solar verdadeira.
INTERMEDIÁRIO
a) Para encontrar essa velocidade, devemos encontrar a distância do cometa para a anomalia verdadeira dada e aplicar o valor na equação vis-viva.
Calculando a distância utilizando a equação polar da elipse:
Assim:
$$r=\frac{a(1-e^2)}{1+ecos\theta}$$
$$r=31.75 UA$$
Temos então:
$$r=6.9km/s$$
b) Calculemos, utlizando a equação vis-viva, as velocidades no periélio e no afélio.
$$v^2=GM(2/r-1/a)$$
$$r_p=a(1-e)$$
$$r_a=a(1+e)$$
$$v_p/v_a=5.67$$
c) Aqui, pela conservação do momento angular, temos:
$$mv_p r_p=mv_ar_a$$
$$\frac{v_p}{v_a}=\frac{r_a}{r_p}$$
$$\frac{v_p}{v_a}=\frac{1+e}{1-e}$$
d) No semi latus rectum, quando a anomalia verdadeira é $$90^{\circ}$$, a distância ao Sol é:
$$r=a(1-e^2)$$
Substituindo na equação vis-viva:
$$v_l=5.1km/s$$
e) Primeiro, devemos calcular a velocidade tangencial no semi-latus rectum, o que pode ser feito por conservação de momento angular:
$$mv_p r_p=mv_{l_T}l$$
Assim:
$$v_{l_T}=v_p\frac{r_p}{l}$$ (Eq. 1)
Encontremos agora $$v_p$$. Por conservação de energia, temos:
$$\frac{mv^2_p}{2}-\frac{GMm}{r_p}=\frac{mv^2_a}{2}-\frac{GMm}{r_a}$$
$$\frac{v^2_p}{2}-\frac{GM}{r_p}=\frac{v^2_a}{2}-\frac{GM}{r_a}$$
$$v^2_p-v^2_a=2GM(\frac{1}{r_p}-\frac{1}{r_a})$$
$$v^2_p(1-\frac{v^2_a}{v^2_p})=2GM(\frac{r_a-r_p}{r_p r_a})$$
Subsitituindo as equações das velocidades e das distâncias, chegamos ao seguinte resultado:
$$v^2_p=\frac{GM}{a}\frac{1+e}{1-e}$$
Retomando a (Eq. 1) e elevando-a ao quadrado:
$$v^2_{l_T}=\frac{v^2_p}{(1+e)^2}$$
Substituindo $$v^2_p$$:
$$v^2_{l_T}=\frac{GM}{a(1-e^2)}$$
Ou seja, a própria velocidade circular de um trajetória de raio orbital $$l=a(1-e^2)$$!
AVANÇADO
Resolveremos o problema por trigonometria esférica:
Encontremos a distância angular entre os pontos A e B:
Usando lei dos cossenos, temos:
$$cos\theta=sen\phi_Asen\phi_B+cos\phi_Acos\phi_Bcos(\lambda_A-\lambda_B)$$
Assim:
$$\theta = 89.4957^{\circ}$$
Agora, precisamos encontrar a latitude do ponto mais ao sul da rota, para isso, primeiro devemos encontrar o ângulo diedro do ponto A ou do ponto B. Para isso, utilizaremos a lei dos senos:
Encontrando o ângulo diedro do ponto A, $$\kappa_A$$:
Pela lei dos senos, temos:
$$\frac{cos\phi_B}{sen\kappa_A}=\frac{sen\theta}{sen(\lambda_A-\lambda_B)}$$
Assim:
$$\kappa_A=70.2544^{\circ}$$
Agora aplicaremos a lei dos senos no triângulo $$A-P-PS$$:
$$\frac{cos\phi_A}{sen90^{\circ}}=\frac{cos\phi_P}{sen\kappa_A}$$
Assim:
$$\phi_P=27.1363^{\circ}$$
Agora, para encontrar $$\lambda_{X_1}$$ e $$\lambda_{X_2}$$ apliquemos nos triângulos $$P-SP-X_1$$ e $$P-SP-X_2$$ a lei do cosseno-cosseno:
$$sen\phi_P cos\lambda_{X_1}=cos\phi_P tan\epsilon + sen\lambda_{X_1}cot90^{\circ}$$
Disso, vem:
$$cos\lambda_{X_1}=\frac{tan\epsilon}{tan\phi_P}$$
Então, temos:
$$\lambda_{X_1}=32.1833^{\circ}$$
Como os triângulos $$P-SP-X_1$$ e $$P-SP-X_2$$ são congruentes, temos que:
$$\lambda_{X_2}=32.1833^{\circ}$$
Assim, de modo similar ao que fizemos para calcular $$\theta$$, calcularemos $${\theta}’$$:
Pela lei dos cossenos, temos:
$$cos{\theta}’=cos^2\epsilon+sen^2\epsilon cos(\lambda_{X_1}+\lambda_{X_2})$$
Assim:
$${\theta}’=24.4744^{\circ}$$
Dividindo $${\theta}’$$ por $$\theta$$:
$${\theta}’/\theta=0.27$$
Percentualmente:
$$27\%$$