Escrita por Antônio Ítalo
Resumo Teórico:
Movimento retilíneo uniforme:
$$S=S_{0}+V \, t$$
$$V=cte$$
Movimento retilíneo uniformemente variado:
$$S=S_{0}+V_{0}\, t + \dfrac{a \, t^{2}}{2}$$
$$V=V_{0}+a\,t$$
$$a=cte$$
$$V^{2}=V_{0}^{2}+2 a \, \Delta S$$
Movimento Circular Uniforme:
$$T=cte$$
$$f=\dfrac{1}{T}$$
$$\omega= 2 \pi \, f$$
$$V=\omega \, R$$
$$a_{cp}=\dfrac{V^{2}}{R}=\omega \, R$$
$$\theta (t)=\theta_{0}+\omega \, t$$
Movimento Circular Uniformemente variável:
$$\alpha=\dfrac{\Delta \omega}{\Delta t}=cte$$
$$\omega=\omega_{0}+\alpha \, t$$
$$V=\omega \, R$$
$$a_{cp}=\dfrac{V^{2}}{R}$$
$$a_{tg}=\alpha \, R$$
$$\theta (t)=\theta_{0} + \omega_{0} \, t + \dfrac{\alpha \, t^{2}}{2}$$
Lançamento Oblíquo:
$$y(t)=y_{0}+V_{0y} \, t – \dfrac{g \, t^{2}}{2}$$
$$V_{y}(t)=V_{0y} – g \, t$$
$$a_{y}=-g$$
$$x(t)=x_{0}+ V_{0x} \, t$$
$$V_{x}=V_{0x}$$
$$V^{2}=V_{0}^{2}-2 \, g \, \Delta y$$
$$y(x)=x \tan \left( \theta_{0} \right) – \dfrac{ g x^{2}}{2V_{0}^{2}\cos^{2} \left( \theta \right) }$$
Mudança de referenciais:
$$\vec{V_{rel}}=\vec{V_{2}}-\vec{V_{1}}$$
$$\vec{a_{rel}}=\vec{a_{2}}-\vec{a_{1}}$$
Com base nesse resumo, os seguintes problemas são ótimos como revisão para a terceira fase da OBF. OBS: Apesar dos problemas estarem divididos em níveis, todos podem ser cobrados nos 3 níveis da OBF, portanto, é interessante fazer todos os problemas, começando dos mais fáceis.
Nível 1:
Problema 1:
Lawrence está em um trem que possui aceleração relativa ao solo $$a$$. Lawrence percebe que se jogar uma bolinha para cima ela cairá atras dele. O campo gravitacional local é $$g$$.
a) Explique o fenômeno.
b) Utilizando o referencial do trem, calcule o ângulo com que Lawrence deve jogar a bolinha em relação a vertical para que a mesma caia na sua mão.
c) Utilizando o referencial do solo, calcule o ângulo com que Lawrence deve jogar a bolinha em relação a vertical para que a mesma caia na sua mão.
Problema 2:
Uma partícula $$A$$ realiza um movimento circular uniforme de velocidade angular $$\omega$$ e raio $$R$$ no sentido anti-horário. Sabendo que em $$t=0$$ $$s$$ a partícula faz um ângulo $$\phi_{0}$$ com o eixo $$x$$ e, consequentemente, um ângulo $$\dfrac{\pi}{2}-\phi_{0}$$ com o eixo $$y$$, encontre:
a) A posição, velocidade e aceleração da partícula no eixo $$x$$ em função do tempo.
b) A aceleração da partícula no eixo $$x$$ em função da posição da partícula no eixo $$x$$.
Problema 3:
Uma bola é lançada do solo verticalmente para cima. Nos dois momentos em que a bola passa pela janela de Zé, que está a uma altura $$H$$ do solo, Zé realiza a medida do tempo que passou desde o lançamento. Sabendo que esses tempos são $$t_{1}$$ e $$t_{2}$$, determine a aceleração da gravidade $$g$$.
Problema 4:
Uma partícula $$A$$ está no solo quando é lançada com velocidade $$V_{A}$$ fazendo um ângulo $$\alpha$$ com a horizontal. Ao mesmo tempo, uma partícula $$B$$ que está a uma distância horizontal $$d$$ de $$A$$ é lançada fazendo um ângulo $$\beta$$ com a horizontal. Os ângulos são medidos no sentido anti-horário com relação à horizontal. Determine a condição para que as duas partículas colidam.
Dica 1:
a) Lembre-se do princípio da inércia.
b) Utilize o conceito de aceleração relativa vetorialmente.
c) Garanta que a distância percorrida pela bolinha durante o seu percurso seja igual a distância percorrida pelo trem.
Dica 2:
Utilizar trigonometria será muito útil nessa questão, contudo, também é importante utilizar o resultado da aceleração centrípeta.
Dica 3:
Você pode resolver esse problema sem calcular as raízes da equação de segundo grau que irá obter pois há uma relação conhecida entre o produto das raízes de uma equação de segundo grau.
Dica 4:
Analisar o referencial da partícula $$A$$ pode ser bem interessante na resolução desse problema.
Gabarito 1:
a) Podemos analisar o problema no referencial da terra. Pelo princípio da inércia, sabemos que a bolinha continuará com velocidade constante no eixo $$x$$, contudo, a velocidade do trem e, consequentemente, de Lawrence aumentará, sendo assim, Lawrence percorrerá uma distância horizontal maior que a bolinha durante o lançamento, o que no referencial de Lawrence é interpretado como a bolinha ganhando uma velocidade para trás e, consequentemente, se deslocando para trás.
b) e c)
$$\tan \left(\theta \right) = \dfrac{a}{g}$$
Gabarito 2:
a)
$$x(t)=R \cos \left( \omega t +\phi_{0} \right)$$
$$V_{x} (t)= – \omega R \sin \left( \omega t + \phi_{0} \right)$$
$$a_{x} (t)= – \omega^{2} R \cos \left( \omega t + \phi_{0} \right)$$
b)
$$a_{x}(t)=- \omega^{2} x(t)$$
Gabarito 3:
$$g=\dfrac{2H}{t_{1}t_{2}}$$
Gabarito 4:
Duas condições são necessárias:
$$V_{B} \sin \left( \beta \right)= V_{A} \sin \left( \alpha \right) $$
e também:
$$0 \leq \dfrac{d}{V_{A} \cos \left( \alpha \right)-V_{B} \cos \left(\beta \right)} \leq \dfrac{2 \, V_{B} \sin \left( \beta \right) }{g}=\dfrac{2 \, V_{A} \sin \left( \alpha \right)}{g} $$
Nível 2:
Problema 1:
Uma circunferência de raio $$R$$ está parada quando outra circunferência de raio $$R$$ se aproxima da mesma com velocidade $$V$$. Encontre a velocidade $$u$$ do ponto de contato entre as duas circunferências quando a distância entre os centros das mesmas é $$a$$.
Problema 2:
Uma partícula está realizando um movimento circular uniformemente variado de raio $$R$$ com aceleração angular $$\alpha$$ e velocidade angular inicial nula. Sabendo que inicialmente a partícula se encontra sob o eixo $$x$$, encontre:
a) A posição, e a velocidade da partícula no eixo $$x$$ em função do tempo.
b) O módulo da aceleração total da partícula em função do tempo.
Problema 3:
Uma partícula é lançada obliquamente a partir do solo com velocidade $$V_{0}$$ e fazendo um ângulo $$\theta_{0}$$ com o solo. Sabendo que a cada colisão com o solo a velocidade em $$y$$ da partícula troca de sinal e é multiplicada por $$e$$, com $$e<1$$, calcule a distância total percorrida pela partícula horizontalmente.
Problema 4:
Utilizando os conceitos de lançamento oblíquo e aceleração centrípeta, calcule o raio de curvatura de uma parábola qualquer $$y(x)=ax^{2}+bx+c$$ no seu vértice.
Dica 1:
Tente analisar o problema em um referencial que haja simetria. Além disso, pode ser útil notar que a velocidade deve ser tangente à circunferência que está parada.
Dica 2:
Talvez seja útil fazer o problema $$2$$ do nível 1 primeiro. Lembre-se de contar ambas as acelerações da partícula, a tangencial e a centrípeta.
Dica 3:
Você deve encontrar uma P.G. infinita ao resolver essa questão, deve ser útil que:
$$\sum_{i=0}^{\infty}r^{i}=\dfrac{1}{1-r}$$
se valer $$e<1$$.
Dica 4:
Será útil utilizar a equação da trajetória do lançamento oblíquo e:
$$a_{cp}=\dfrac{V^{2}}{R_{C}}$$
Onde $$R_{C}$$ é o raio de curvatura.
Gabarito 1:
$$u=\dfrac{V}{2\sqrt{1-\dfrac{a^{2}}{4R^{2}}}}$$
Gabarito 2:
a)
$$x(t)=R \cos \left( \dfrac{\alpha t^{2}}{2} \right)$$
$$V_{x} (t)=-\alpha \, R \, t \sin \left(\dfrac{\alpha t^{2}}{2} \right)$$
b)
$$a(t)=\alpha R \sqrt{1+ \alpha^{2} t^{4} }$$
Gabarito 3:
$$D=\dfrac{V_{0}^{2} \sin \left( 2 \theta \right)}{g \left(1-e \right)}$$
Gabarito 4:
$$R_{C}=-\dfrac{1}{2a}$$
Nível 3:
Problema 1:
No planeta $$X$$ a gravidade age de uma maneira muito estranha. Ao invés de apontar para baixo, de maneira contrária ao eixo $$y$$, a gravidade faz um ângulo de $$45^{\circ}$$ com esse eixo, tendo então uma componente de mesma direção e sentido que o eixo $$x$$. Encontre uma equação que relaciona somente as duas coordenadas ($$y$$ e $$x$$) de uma partícula lançada obliquamente nesse planeta com uma velocidade $$V_{0}$$ fazendo um ângulo $$\theta_{0}$$ com o eixo $$x$$ a partir da origem desses eixos. Use $$g$$ como o valor da gravidade.
Problema 2:
É conhecido o fato de que o alcance máximo de um projétil quando lançado sob um plano horizontal é obtido para $$\theta=45^{\circ}$$. O problema torna-se um pouco mais complicado quando o plano não é horizontal. Suponha que você vá lançar um projétil em uma superfície que está inclinada para cima por um ângulo $$\beta$$ com a horizontal. Encontre:
a) O alcance ao longo da superfície em função do ângulo de lançamento com a horizontal.
b) O ângulo de lançamento que maximiza esse alcance.
c) Verifique se as fórmulas do item anterior funcionam corretamente para $$\beta=0$$
OBS: Note que $$\theta$$ e $$\beta$$ estão no primeiro quadrante.
Problema 3:
Um objeto é solto do repouso à uma altura $$h$$ do solo, contudo, à uma altura $$y$$ do solo encontra uma superfície inclinada de $$45^{\circ}$$, conforme na figura abaixo. Após a colisão, o objeto sai com mesma velocidade que antes, porém horizontal. Encontre o alcance máximo horizontal do objeto e a altura $$y$$ necessária para obter esse alcance. Desconsidere a possibilidade do objeto colidir uma segunda vez com a superfície inclinada.
Problema 4:
Um rio possui correnteza com velocidade de $$4$$ $$\dfrac{m}{s}$$ e largura de $$3$$ $$m$$. Um remador possui a capacidade de remar de maneira que obtém uma velocidade de $$3$$ $$\dfrac{m}{s}$$ relativa ao rio. Encontre:
a) O tempo mínimo que o remador leva para atravessar o rio.
b) O tempo que o remador leva para atravessar o rio quando quer se deslocar o mínimo possível ao longo da margem.
Dica 1:
Mude seu sistema de coordenadas para dois eixos que sejam tais que a gravidade atue em somente um deles, então, volte para os eixos $$x$$ e $$y$$.
Dica 2:
Ao longo da resolução, provavelmente se deparará com o problema de maximizar uma função do seguinte tipo:
$$f \left( \theta \right) = a \cos \left( \theta \right) + b \sin \left( \theta \right)$$
Você pode chegar no resultado então a partir de cálculo diferencial, contudo, outra possibilidade é procurar deixar essa função no formato:
$$f(\theta)=R \cos \left( \theta – \phi \right)$$
Onde pode ser trivialmente maximizada.
Dica 3:
Provavelmente terá que maximizar uma função do tipo:
$$f(x)=\sqrt{ x \left(a-x \right) }$$
Isso pode ser feito com cálculo diferencial, contudo, é mais facilmente resolvível utilizando a desigualdade das médias:
$$M.A. \geq M.G.$$
Dica 4:
Pensar vetorialmente nessa questão facilitará seu trabalho.
Gabarito 1:
$$y-x=\left(x+y \right) \tan \left( \theta_{0}-\dfrac{\pi}{4} \right) -\dfrac{\sqrt{2} g \left(x+y \right)^{2}}{4 V_{0}^{2} \cos^{2} \left(\theta_{0}-\dfrac{\pi}{4} \right)}$$
Gabarito 2:
a)
$$A=\dfrac{2V_{0}^{2}}{g} \left( \sin \left( \theta \right) \cos \left( \theta \right) – \cos^{2} \left( \theta \right) \tan \left( \beta \right) \right) \sec \left( \beta \right)$$
b)
$$\theta= \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{\pi}{2} + \beta \right)$$
c)
$$\theta=\dfrac{\pi}{4}$$
e
$$A=\dfrac{V_{0}^{2} \sin \left( 2 \theta \right)}{g}$$
Gabarito 3:
$$y=\dfrac{h}{2}$$
e
$$A=h$$
Gabarito 4:
a) $$t=1$$ $$s$$
b) $$t=\dfrac{4 \sqrt{5}}{5}$$ $$s$$