Escrita por Paulo Henrique
Lista de Ondas e Oscilações
Essa lista de exercícios foi criada com o intuito de melhorar sua capacidade na resolução de problemas relacionados. Os problemas foram separados por nível: do mais fácil (*), ao mais difícil (***). O problema de 4 estrelas é um desafio e pode ser ignorado em um primeiro momento (recomendado para estudantes da seletiva de física). Os gabaritos das questões estão todos abaixo dos respectivos enunciados.
Parede Rígida *
Considere que uma onda da forma
\[\psi=g(x-vt)\]
se propaga na direção $$+x$$. Uma parede rígida é colocada em $$x=x_0$$. Descreva o movimento da onda para $$x<x_0$$
Fonte acelerada **
Uma fonte de oscilações sônicas, com frequência $$v_0=1700 Hz$$, e um receptor estão localizados no mesmo ponto. No instante $$t=0$$, a fonte começa a recuar do receptor, com aceleração constante $$w=10,0 m/s^2$$. Considerando que a velocidade do som seja igual a $$v=340 m/s$$, encontre a frequência de oscilação registrada pelo receptor estacionário $$t=10,0 s$$ após o início do movimento.
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
\[1,35 kHz\]
[/spoiler]
Tem efeito doppler? *
Um fonte sonora, com frequência natural $$v_0=1,8 kHz$$, move-se uniformemente ao longo de uma linha reta, separada de um observador estacionário por uma distância $$l=250 m$$. A velocidade da fonte é igual à fração $$\eta=0,4$$ da velocidade do som. Encontre a frequência de som recebida pelo observador no instante quando a fonte fica mais próxima dele.
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
\[5 kHz\]
[/spoiler]
Distância percorrida em um M.H.S. **
Uma partícula move-se ao longo do eixo $$x$$ de acordo com a lei $$x={\lambda}\cos{{\omega}t}$$. Encontre a distância que ela percorre durante o intervalo de tempo de $$t=0$$ até $$t$$.
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Defina $$n$$ como um número inteiro da proporção $$\dfrac{2{\omega}t}{\pi}$$
Se $$n$$ é par
\[s=a\left(n+1-cos\left({\omega}t-\dfrac{n\pi}{2}\right)\right)\]
Se $$n$$ é ímpar
\[s=a\left(n+sin\left({\omega}t-\dfrac{n\pi}{2}\right)\right)\]
[/spoiler]
Posição da fonte *
Encontre o vetor posição que define a posição de um ponto de origem de ondas esféricas, sabendo-se que essa origem está localizada sobre a linha reta entre os pontos com vetores radiais $$\vec{r_1}$$ e $$\vec{r_2}$$, nos quais as amplitudes de oscilação das partículas do meio são iguais a $$a_1$$ e $$a_2$$. O amortecimento da onda é desprezível e o meio é homogêneo.
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
\[(a_1\vec{r_1}+a_2\vec{r_2})/{(a_1+a_2)}\]
[/spoiler]
Interferência tripla **
Considere que em um ponto do espaço exista, simultaneamente, as três ondas a seguir:
\[{\psi}_1={\psi}_0\sin\left(kx-{\omega}t \right)\]
\[{\psi}_2=3{\sqrt{2}}{\psi}_0\sin \left(kx-{\omega}t+\theta \right)\]
\[{\psi}_3=4{\psi}_0\cos \left(kx-{\omega}t \right)\]
Determine o valor de $$\theta$$ (entre $$0$$ e $${\pi}/2$$) se a diferença de fase entre a onda resultante e a primeira vale $${\pi}/4$$
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
\[\pi/{12}\]
[/spoiler]
Batimendo em colunas de ar *
Uma coluna de ar a $$51$$ $$^{\circ}C$$ e um diapasão produzem $$4$$ batimentos por segundo quando soam juntos. A medida que a temperatura da coluna de ar diminui, o número de batimentos por segundo tende a diminuir e quando a temperatura é de $$16$$ $$^{\circ}C$$, os dois produzem um batimento por segundo. Encontre a frequência do diapasão.
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
\[50 Hz\]
[/spoiler]
Transmissão sonora na superfície do mar ***
Numa região que o oceano tem profundidade constante igual a $$h$$, uma fonte de ondas sonoras emite numa frequência $$f$$. Suponha que a frequência seja tão alta que as ondas sonoras podem ser tratadas como raios, e o índice de refração da água para ondas sonoras seja $$n$$. Seja $$c$$ a velocidade do som no ar. A fonte está se movendo com velocidade $$v<c$$ em direção a um observador estacionário que está a uma distância $$D$$, ambos localizados um pouco acima da superfície do oceano (Veja a figura abaixo). Assuma também que a velocidade é tão baixa que $$\dfrac{D}{\tau}\gg{v}$$, onde $$\tau\gg{\dfrac{1}{f}}$$ é o tempo de observação. Considere reflexões somente do chão do oceano. Ache a frequência de batimento instantânea.
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
\[\dfrac{1-n/{\sqrt{2}}}{(1-v/c)(1-nv/{\sqrt{2}c})}\dfrac{v}{c}f\]
[/spoiler]
Várias molas **
Um escalador tem que passar a noite no lado vertical de uma montanha alta. Para isso (veja a figura abaixo), ele se amarra em 4 pontos da rocha através de suas molas incrivelmente flexíveis. As massas das molas, assim como seus comprimentos naturais, são desprezíveis. O escalador é considerado como um ponto material de massa $$m=70 kg$$. Determine o período de oscilação do escalador, se ele é posto a oscilar a partir de sua posição de equilíbrio. As constantes elásticas são: $$k_1=150 N/m$$, $$k_2=250 N/m$$, $$k_3=300 N/m$$, e $$k_4=300 N/m$$.
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
\[1,6 s\]
[/spoiler]
Saindo da haste ***
Uma pérola lisa roscada em uma haste vertical lisa, que é presa ao chão por um pivô em sua base. A pérola está em repouso sobre um disco circular que está fixado à haste a uma distância $$d$$ do pivô. A haste começa a realizar um M.H.S. em torno de sua posição original com amplitude angular $${\theta}_0$$. Qual a frequência necessária para que a pérola saia da haste?
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
A frequência deve ser maior que um valor crítico $$f_c$$:
\[f_c={\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{2g}{d{\theta}_0^2}}}\]
[/spoiler]
Invariante adiabático ***
Considere um sistema com uma parâmetro característico $$\lambda$$. Suponha que esse mesmo parâmetro seja variado lentamente (“adiabaticamente”) via agentes externos. Agora, seja $$I$$ uma determinada grandeza mecânica. Por hipótese, é necessário um tempo $$T$$ para que $$\lambda$$ mude apreciavelmente. Dizemos que $$I$$ é um invariante adiabático se $$T\gg{\tau}$$ onde $$\tau$$ é o intervalo de tempo característico do sistema, ou seja, um intervalo da ordem de grandeza dos que lidamos quando analisamos o sistema. Por exemplo, considere um pêndulo simples de comprimento $$l$$ e que $$\lambda=l$$, em outras palavras, $$l$$ é variado adiabaticamente (pode-se fazer isso puxando o fio lentamente através de um buraco no ponto de suporte). Neste caso, $$T$$ deve ser muito maior que $$t=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$$, o período do pêndulo. Nessa condição, é dito que o pêndulo está sofrendo uma transformação adiabática. É possível mostrar que, numa transformação adiabática, se $$p$$ é o momento linear de uma partícula e $$x$$ é sua posição:
\[\sum p(x)\Delta{x}=I\]
Ou seja, a área sob o gráfico no espaço de fase (gráfico de $$p(x)$$ versus $$x$$) em um período é uma constante. Essa constante é chamada de invariante adiabático. Agora, considere uma partícula que realiza um M.H.S. presa a uma mola no regime de Hooke. A amplitude inicial é $$A_1$$ e a constante elástica $$k_1$$. Sabe-se que a constante elástica da mola é variada adiabaticamente até que a mesma atinga a constante elástica $$k_2$$, determine a nova amplitude.
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
\[A_2=A_1(k_1/k_2)^{1/4}\]
[/spoiler]
Batimento de violinos **
O fenômeno clássico do batimento acústico é originado quando duas ondas sonoras de frequências próximas interferem. Uma situação comum onde poderíamos observar tal fenômeno seria com dois instrumentos musicais com afinações ligeiramente diferentes tentando tocar a mesma nota. Nesta questão vamos analisar este efeito em termos de três ondas sonoras. Suponha que três violinos estejam ajustados para tocar o Lá fundamental ($$110$$ $$Hz$$), mas que por um descuido dos violinistas, o primeiro deles emite um som a $$109$$ $$Hz$$ e o terceiro a $$111 Hz$$. O segundo é o único que emite o som na frequência desejada. Na situação em que os três músicos estão tocando seus instrumentos com a mesma amplitude de pressão $$P_0$$, a percepção auditiva é de um batimento de maior amplitude intercalado com outro de menos amplitude. Qual a razão entre a maior e a menos dessas amplitudes? O intervalo de tempo entre os instantes em que a plateia ficará sem escutar som algum não é mais constante, mas alternado entre um intervalo maior e um menor. Qual a razão entre a duração desses intervalos? O problema é unidimensional.
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Primeira pergunta: 1,5
Segunda pergunta: 2
[/spoiler]
Onda esférica por conservação de energia **
Uma forma muito importante de onda é a onda esférica:
\[{\psi}(r,t)=\dfrac{1}{r}f(r-ct)\]
Onde $$c$$ é a velocidade da onda, $$r$$ é a distância até a fonte pontual e $$t$$ é o tempo desde a emissão. Essa onda representa uma pertubação viajando rigidamente para fora. Nessa questão você deve provar o porquê do fator $$1/r$$ na equação acima. Sabe-se que a intensidade de uma onda é definida como a potência liberada pela onda para uma área unitária perpendicular à direção de propagação. Usando o fato que a energia simplesmente não pode acumular em uma região (continuidade), mostre a dependência $$1/r$$.
Equação da frente de onda *
Uma fonte pontual de som está se movendo uniformemente ao longo da direção $$x$$ positiva com velocidade $$v_0$$. No tempo $$t=0$$ a fonte estava na origem e emitiu um pulso de compressão $$C_1$$. Após um tempo $$T$$, emitiu outro pulso $$C_2$$. Escreva a equação da frente de onda representando o pulso de compressão $$C_2$$ no tempo $$t$$. A velocidade do som é $$v$$.
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
\[(x-v_0T)^2+y^2+z^2=v^2(t-T)\]
[/spoiler]
Gafanhoto na corda *
Um gafanhoto de massa $$m$$ está tranquilamente em repouso sobre uma corda esticada horizontalmente. A corda possui uma densidade linear $$\mu$$ e está sob tensão $$F$$. Sem avisar, Cornellius produz uma onda transversal senoidal com um comprimento de onda igual a $$\lambda$$ que se propaga na corda. Qual a amplitude mínima da onda que faz o gafanhoto ficar repentinamente com um peso aparente igual a zero? Suponha de a massa $$m$$ seja tão pequena que a presença desta não altere a propagação da onda.
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
\[\dfrac{g{\lambda}^2\mu}{4{\pi}^2F}\]
[/spoiler]
Caso geral ****
Suponha que você envia uma onda de formato específico, $$g_I(z-v_1t)$$, por uma corda de número 1. Esta está conectada no ponto $$O$$ a outra corda (número 2). Isso faz surgir uma onda refletida, $$h_R(z+v_1t)$$, e uma onda transmitida, $$g_T(z-v_2t)$$. Encontre $$h_R$$ e $$g_T$$.
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
\[g_T(z-v_2t)=\dfrac{2v_2}{v_1+v_2}g_I(\dfrac{v_1}{v_2}(z-v_1t))+C\]
\[h_R(z-v_1t)=\dfrac{v_2-v_1}{v_1+v_2}g_I(-z+v_1t)+C\]
[/spoiler]
Estrondo sônico*
Um avião a jato supersônico está voando a Mach 2 (o dobro da velocidade do som). Qual o ângulo de abertura do cone de Mach? $$2,5 s$$ depois de o avião ter passado diretamente acima de uma casa, a onda de choque causada pela sua passagem atinge a casa, provocando um estrondo sônico. A velocidade do som no ar é $$V=340 m/s$$. Qual é a altitude do avião em relação à casa?
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
30°; $$981 m$$
[/spoiler]
Três modos de vibração*
Uma corda de comprimento $$l$$ está distendida, com uma extremidade presa a um suporte e a outra extremidade livre. Ache as frequências dos modos normais de vibração da corda. Desenhe a forma da corda associada aos três modos de vibração mais baixos (em ordem de frequência crescente). A velocidade de ondas na corda é $$v$$.
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
\[f_n=(2n+1)\dfrac{v}{4l}\]
\[n=0,1,2,…\]
[/spoiler]
Onda esférica por conta ****
Considere uma onda esférica que se propaga com velocidade $$c$$. Determine sua forma geral.
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
\[{\psi}(r,t)=\dfrac{1}{r}f(r-ct)+\dfrac{1}{r}g(r+ct)\]
[/spoiler]