Iniciante (Solução por Daniel Lima Braga)
Se você tentar observar um padrão, vai ver que os valores obtidos em cada soma são os quadrados perfeitos, logo, nosso palpite sortudo seria $$A=2007^2$$ e daí a nossa resposta seria $$\dfrac{A^2}{223^2}=\dfrac{2007^2}{223^2} = 9^2=81$$.
Porém um chute não vale! Isso foi só para ter uma ideia de onde queremos chegar. O que vamos usar usar aqui é algo muito importante: Soma de Gauss. O fato é que $$1+2+…+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$$.
Daí chegaríamos que $$!A=1+2+…+2006+2007+2006+…+2+1=(1+2+…+2007) + (1+2+…+2006) =\dfrac{2007\cdot 2008}{2} +\dfrac{2006 \cdot 2007}{2} =2007 \cdot \dfrac{2008+2006}{2} =2007^2$$
Ótimo, falta só provar a soma de Gauss!
Ela é a parte mais legal do problema. Seja $$S$$ a soma de $$1$$ até $$n$$.
Logo: $$1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+n=S$$ $$n+(n-1)+(n-2)+…+3+2+1=S$$ E somando a expressão de cima com a de baixo, termo a termo, temos: $$(n+1)+(n+1)+…+(n+1)=2S \Longrightarrow n(n+1)=2S \Longrightarrow S=\dfrac{n(n+1)}{2}$$ e assim concluímos nosso problema.
Intermediário (Solução por Daniel Lima Braga)
Ao ir de $$B$$ para $$C$$ podemos passar por 1, 2, 3, 4 , 5 ou 6 das cidades $$A_i$$’s. Suponha que ele passou por $$x$$ cidades entre $$C$$. Daí saindo de $$B$$, temos $$6$$ modos de escolher a cidade seguinte, depois teremos $$5$$ modos de escolher a próxima cidade, …,teremos $$(7-x)$$ modos de escolher a última cidade antes de $$C$$ e daí chegamos em $$C$$. Ou seja, dado que passamos por $$x$$ cidades entre $$B$$ e $$C$$, temos $$6 \cdot 5 …(7-x)$$ modos de fazer nossa trajetória. Logo o total de trajetórias é a soma dessas expressões que achamos quando $$x$$ varia de $$1$$ a $$6$$, que vai dar: $$6+6\cdot 5+6\cdot 5\cdot4 +6\cdot 5\cdot4 \cdot 3+6\cdot 5\cdot4 \cdot 3\cdot 2+6\cdot 5\cdot4 \cdot 3\cdot 2\cdot 1=1956$$
Avançado (Solução por Daniel Lima Braga)
Vamos analisar algumas congruências para obter informações sobre $$a$$ e $$b$$. Analisando a equação dada módulo $$3$$ e lembrando que $$5\equiv (-1) (mod.3)$$ vemos que: $$4\cdot 3^a=11+5^b \Longrightarrow 0\equiv 2+(-1)^b (mod.3) \Longrightarrow b$$ é par.
Veja que as potências de $$3$$ tem período $$4$$ em relação à congruência módulo $$5$$: $$3^1 \equiv 3(mod.5)$$ $$3^2 \equiv 4(mod.5)$$ $$3^3 \equiv 2(mod.5)$$ $$3^4 \equiv 1(mod.5)$$ $$3^5 \equiv 3(mod.5)$$ …
Agora, analisando a equação dada módulo $$5$$, obtemos que $$4\cdot 3^a=11+5^b \Longrightarrow 4\cdot 3^a\equiv 1 (mod.5) \Longrightarrow 3^a \equiv 4(mod.5) \Longrightarrow a$$deixa resto $$2$$ por $$4$$ e desse modo é par.
Faça $$a=2c$$ e $$b=2d$$. Agora $$4\cdot 3^a=11+5^b \Longrightarrow 4\cdot 3^{2c}=11+5^{2d}\Longrightarrow 11=(2\cdot 3^c)^2-(5^d)^2\Longrightarrow 11=(2\cdot 3^c +5^d)(2\cdot 3^c -5^d)$$
Como $$11$$ é primo, um dos parentenses será $$11$$ e o outro erá $$1$$. Como $$2\cdot 3^c -5^d <2\cdot 3^c +5^d$$ $$(2\cdot 3^c +5^d)=11$$ $$(2\cdot 3^c -5^d)=1$$
Somando as duas equações teremos que $$4\cdot3^c = 12 \Longrightarrow c=1$$ e substituindo $$c$$ na primeira equação teremos que $$d=1$$ também.
Daí $$a=b=2$$ é solução única para o problema.
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