INICIANTE
Para resolver o problema, precisamos saber que a temperatura é inversamente proporcional ao fator de escala.
Assim, temos:
$$\frac{a_0}{a_{rec}}=\frac{T_{rec}}{T_0}$$
Sabemos também que o comprimento de onda é proporcional ao fator de escala:
$$\frac{a_0}{a_{rec}}=\frac{\lambda_0}{\lambda_{rec}}$$
Dessa forma, subtraindo $$-1$$ de ambos os lados:
$$\frac{a_0}{a_{rec}}-1=\frac{\lambda_0-\lambda_{rec}}{\lambda_{rec}}$$
Lembremos que neste caso, $$\lambda_{rec}$$ é o comprimento de onda emitido, enquanto que $$\lambda_0$$ é o comprimento de onda observado atualmente.
Assim temos:
$$\frac{a_0}{a_{rec}}=z+1$$
$$\frac{T_{rec}}{T_0}=z+1$$
Substituindo valores:
$$T_{rec}$$ $${\approx}$$ $$3000K$$
INTERMEDIÁRIO
Sabendo que galáxias espirais tem brilho superficial constante, tiramos que a sua luminosidade pode ser modelada da seguinte forma:
$$L=I\pi r^2$$ Eq. 1
Isolando $$r$$:
$$r=\sqrt{\frac{L}{I\pi}}$$ Eq. 2
Assumindo uma relação Massa-Luminosidade média para a galáxia, temos:
$$(\frac{M}{L})^{\alpha}=K$$ Eq. 3
Encontrando a massa em termos da velocidade máxima observada:
$$v^2_{max}=\frac{GM}{r}$$ Eq. 4
Substituindo a Eq. 2 na Eq. 4:
$$v^2_{max}=\frac{GM}{\sqrt{\frac{L}{I\pi}}}$$
Elevando tudo ao quadrado, multiplicando o lado direito da equação por $$L/L$$ e declarando que $$G^2I\pi=A$$:
$$v^4_{max}=\frac{AM^2L}{L^2}$$
Assim:
$$L=A^{-1}(\frac{M}{L})^{-2}v^4_{max}$$
Portanto:
$$L$$ $$\propto$$ $$v^4_{max}$$
AVANÇADO
Para resolver o problema devemos conhecer o teorema do virial, que nos diz que o módulo do dobro da energia cinética média de um sistema autogravitante é o módulo da energia potencial gravitacional média.
Matematicamente:
$$2<K>=-U$$
Continuando:
$$2\frac{M<v^2>}{2}=\frac{3}{5}\frac{GM^2}{R}$$
Elevando ambos os lados ao quadrado:
$${<v^4>}=\frac{9}{25}\frac{G^2M^2}{r^2}$$
Agora, consideremos o brilho superficial da galáxia:
$$I=\frac{L}{4{\pi}r^2}$$
Isolando o raio:
$$r^2=\frac{L}{4{\pi}I}$$
Substituindo:
$${<v^4>}=\frac{9}{25}\frac{G^2M^2}{\frac{L}{4{\pi}I}}$$
No entanto, sabemos que a componente quadrática radial média da velocidade, é um terço da velocidade quadrática média na galáxia, assim:
$${9\sigma^4}=\frac{9}{25}\frac{G^2M^2{4{\pi}I}}{L}$$
Multiplicando o membro direito da equação por $$\frac{L}{L}$$:
$${\sigma^4}=L\frac{G^2M^2{4{\pi}I}}{25L^2}$$
Sabemos, do problema anterior, que a razão massa-luminosidade é constante, logo:
$$L$$ $$\propto$$ $$\sigma^4_{max}$$