Revisão de Mecânica
Essa lista de exercícios tem como propósito auxiliar o leitor com problemas relacionados. É importante notar que essa lista é destinada principalmente para alunos do Nível 2 e que já possuem certa prática com o conteúdo, sendo assim, os problemas aqui seriam considerados difíceis mesmo na prova da terceira fase da OBF. Os problemas são ordenados de acordo com sua dificuldade: quanto mais asteriscos, mais difícil o problema é considerado.
1 Oscilações na corda *
A frequência de oscilação de uma corda depende do seu comprimento $$L$$, a tensão $$T$$ e a densidade linear de massa $$\rho$$. Usando análise dimensional, ache essa dependência.
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]\[\dfrac{1}{L}\sqrt{\dfrac{T}{\rho}}\][/spoiler]
2 Ponte de suspensão **
Uma cabo flexível sem massa em uma ponte de suspensão é submetido a uma carga uniforme ao longo do eixo $$x$$. O peso por unidade de comprimento da carga é $$w$$ e a tensão do cabo em $$x=0$$ é $$T_0$$. Ache $$T(x)$$ no equilíbrio.
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]\[T_0\sqrt{1+\left(\dfrac{wx}{T_0}\right)^2}\][/spoiler]
3 Número de voltas *
Um cilindro uniforme de raio $$R$$ é girado sobre seu eixo à velocidade angular $$w_0$$ e é, então, colocado num canto. O coeficiente de atrito entre as paredes do canto e o cilindro é igual a $$k$$. Quantas voltas o cilindro irá realizar até parar?
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]\[\dfrac{(1+k^2){\omega}_0^2R}{8{\pi}k(k+1)g}\][/spoiler]
4 Joaninha **
Uma haste leve está em equilíbrio com uma ponta em parede vertical e a outra no solo. Uma joaninha deseja ir do topo da haste até o solo. Qual a aceleração da joaninha em função da distância $$x$$? Sua massa é $$m$$, o comprimento da haste é $$l$$, o ângulo entre a haste e o solo é $$\alpha$$ e a massa da haste é desprezível. Tanto o solo quanto a parede são completamente lisos. Quanto tempo dura essa viagem?
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]\[a(x)=g\dfrac{\left(1-\dfrac{x}{l}\right)}{sin{\alpha}}\] \[t=\dfrac{\pi}{2}\sqrt{\dfrac{l\sin{\alpha}}{g}}\][/spoiler]
5 Velocidade inicial **
A seguinte fotografia mostra duas bolas que foram lançadas simultaneamente com a mesma velocidade, mas em diferentes direções do ponto $$P$$. Qual é essa velocidade? Use $$g=9,8 m/s^2$$ e observe a escala fornecida.
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]\[20 m/s\][/spoiler]
6 Lei de snell **
Cornelius mora na costa $$OP$$ de uma baía $$MOP$$. Duas costas da baía fazem um ângulo $$\alpha$$. A casa dele está localizada a uma distância $$h$$ da costa e $$\sqrt{h^2+l^2}$$ do ponto $$O$$. Ele deseja pescar na costa $$OM$$. Em qual posição $$x$$ a posição de pesca deve se localizar para que Corneluis leve o menor tempo possível na sua viagem até esse ponto partindo de sua casa? Qual é esse tempo mínimo? Cornelius move-se com velocidade $$v$$ no solo e com velocidade $$u<v$$ usando sua balsa.
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Defina $$\beta$$ mediante;
\[\sin{\beta}=\dfrac{v\sin{\alpha}}{u}\]
Para $$\tan{\beta}\le{\dfrac{l}{h}}$$:
\[x=\cos{\alpha}\left(l-h\tan{\beta}\right)\]
e
\[\dfrac{h\cos{\beta}}{v}+\dfrac{l\sin{\alpha}}{u}\]
Caso a condição acima não for respeitada:
\[x=0\]
e
\[t=\dfrac{\sqrt{l^2+h^2}}{v}\]
[/spoiler]
7 Distância máxima *
Uma partícula se move a partir da origem com velocidade dada pelo gráfico abaixo. Qual a sua distância máxima até a origem?
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]\[18,75 m\][/spoiler]
8 Corrente na esfera **
Uma corrente uniforme de comprimento $$L$$ está suspensa pelo seu topo em uma superfície esférica de raio $$R$$, onde $$L<{{\pi}R/2}$$. Então, o topo da corrente é liberado.
a) Qual o valor da aceleração da corrente?
b) Em qual ponto da corrente a tração é máxima logo após o início do movimento?
Considere o caso especial em que $$L={\pi}R/3$$
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) \[a=\dfrac{3}{2{\pi}}g\]
b) Aproximadamente no meio da corrente.
[/spoiler]
9 Sem deslizar ***
Uma longa prancha de massa $$m_1$$ está em repouso em uma mesa horizontal. Um bloco de massa $$m_2$$ é colocado na ponta diretira da prancha. O último é preso à parede por uma mola de constante elástica $$k$$, não deformada inicialmente. Um peso de massa $$M$$ é conectado à prancha através de um fio inextensível e uma polia. Inicialmente, o sistema está em repouso. Há atrito entre o bloco e a prancha. O comprimento da prancha e a distância inicial entre a polia e a prancha são grandes o suficiente.
a) Qual a distância $$L$$ que o bloco vai andar até o momento que começa a deslizar na prancha?
b) Estude como essa distância depende no coeficiente de atrito $$\mu$$.
c) Calcule o tempo em que o bloco irá andar essa distância $$L$$.
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Observe abaixo a dependência entre $$L$$ e $$\mu$$:
Onde
\[{\mu}_{min}=\dfrac{M}{M+m_1+m_2}\]
e
\[{\mu}_0=\dfrac{M(m_2+2M+2m_1)}{m_2(M+m_1+m_2)}\]
O tempo requerido é
c) \[t=\sqrt{\dfrac{(M+m_1+m_2)}{K}}cos^{-1}(1-LK/Mg)\]
[/spoiler]
10 Corda massiva **
Um peso é mantido em repouso por meio de uma corda massiva uniforme, uma polia móvel de raio $$R$$, e uma polia fixa. A massa da corda é $$m$$, seu comprimento é $$l$$, e a massa total da polia móvel e do peso é $$M$$. As distâncias verticais $$H_1$$ e $$H_2$$ são conhecidas.
a) Determine a tração na corda no ponto $$B$$.
b) Determine a força $$F$$ aplicada na corda no ponto $$K$$. Despreze o atrito no eixo da polia.
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) \[\dfrac{Mg}{2}+\dfrac{{\pi}Rmg}{2l}\]
b) \[F=\dfrac{Mg}{2}+\dfrac{{\pi}Rmg}{2l}-\dfrac{mgH_1}{l}\]
[/spoiler]
11 Disco amarrado ***
Um cilindro vertical de raio $$R$$ é fixado em um plano horizontal. Um fio inextensível de comprimento $$L$$ é preso no cilindro, inicialmente o fio é tangente ao cilindro. Um pequeno disco é preso na outra ponta do fio. É fornecido uma velocidade $$v_0$$ perpendcular ao fio ao disco.
a) Quanto tempo irá durar o movimento do disco (enrolamento completo no cilindro) se não há atrito?
b) Considere agora que o coeficiente de atrito entre o disco e o plano horizontal é $$\mu$$. Determine o novo tempo.
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) \[\dfrac{L^2}{2Rv_{0}}\]
b) Se $$v_0\leq{L\sqrt{\dfrac{{\mu}g}{R}}}$$, então:
\[t=\dfrac{v_0}{{\mu}g}\]
Se $$v_0\geq{L\sqrt{\dfrac{{\mu}g}{R}}}$$, então:
\[t=\dfrac{v_0}{{\mu}g}\left(1-\sqrt{1-\dfrac{{\mu}gL^2}{Rv_0^2}}\right)\]
[/spoiler]
12 Foguete defeituoso ****
Um foguete viajando a velocidade constante $$v$$ gera um som de frequência constante $$f_0$$. Um cientista usa sensores para registrar esse som. A velocidade do som é $$c=330 m/s$$.
a) Qual frequência será detectada por um sensor se o foguete se aproxima diretamente ao mesmo? Qual frequência será registrada por um sensor muito distante de um foguete se o ângulo entre a velocidade do foguete e a direção do sensor é $$\phi$$.
b) Durante sua pesquisa, o cientista acidentalmente lançou um foguete defeituoso que começou a voar em círculo de raio $$r$$ numa pequena altura acima do solo com a mesma velocidade $$v$$. O cientista percebeu uma dependência temporal da frequência registrada pelos sensores 1 e 2, de acordo com o gráfico abaixo. Qual a distância $$L$$ entre os sensores?
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) \[f=\dfrac{f_0}{1-(v/c)\cos{\phi}}\]
b) \[L=478 m\]
[/spoiler]