Soluções Cálculo – Semana 1

Iniciante

Neste problema, queremos saber somente direta e objetivamente $$\lim\limits_{x \rightarrow 0} 3x+5 $$
Sabemos que a função $$f(x)=3x+5$$ é contínua (polinomial), ou seja, se “comporta bem”, podendo ter seu limite calculado para todo $$x$$. Então, quando $$x$$ vai tendendo a zero, o que acontece com $$3x+5$$? Vai tendendo a $$5$$!

Intermediário

A quantidade de cascalho não processado a um tempo t é dada por:

$$!F(t)=\displaystyle \int_{0}^{8} 90+45cos(t)dt$$

Ou seja, como a taxa de chegada de cascalho é o quanto a quantidade de cascalho varia no tempo, para acharmos a função da quantidade de cascalho, basta integrar a da taxa. Portanto, teremos

$$! \displaystyle 90\int_{0}^{8}dt+\displaystyle 45\int_{0}^{8}cos(t)dt$$

Achando as antiderivadas e colocando-as nos intervalos, teremos $$90t$$ nos intervalos de $$0$$ a $$8$$ mais $$45sen(t)$$ nos intervalos de $$0$$ a $$8$$, que resulta em $$764.547$$ toneladas. Adicionando as $$135$$ toneladas iniciais, teremos $$899.547$$ toneladas não processadas. Agora, para acharmos a quantidade final de cascalho, devemos fazer o mesmo com a taxa de processamento: $$!\displaystyle 100\int_{0}^{8}dt$$ que é igual a $$100t$$ nos intervalos de $$0$$ a $$8$$, que é igual a $$800$$. Subtraindo o segundo resultado do primeiro, teremos $$!899.547-800=99.547$$ toneladas, que é o nosso resultado final!

Avançado (Solução adaptada de Alícia Fortes Machado)

Aqui, vamos começar a usar integrais para calcular o volume do sólido de revolução gerado através da rotação da função em torno do eixo $$x$$. Utilizando o método do disco circular, teremos que $$r=f(x)=y$$ (o raio dos discos irá variar de acordo com $$f(x)$$). Então podemos escrever: $$!dV=\pi(r^2)dx$$

$$!dV={\pi[f(x)]^2}dx$$
$$!V=\pi\displaystyle \int_{0}^{k} {[f(x)]}^2dx$$
$$!V=\pi\displaystyle \int_{0}^{k} [e^{2x}]^2dx=\pi\displaystyle \int_{0}^{k} [e^{4x}]dx$$
Pelo método de substituição, temos: $$u=4 x$$, portanto $$du=4 dx$$ e, finalmente, $$dx=\frac{du}{4}$$. Então: $$!V=\frac{\pi}{4}\displaystyle \int_{0}^{k} {e^u}du$$
Logo, o volume será $$!V=\frac{\pi}{4}[e^{4k}-1]$$