INICIANTE
Para resolvermos o problema, devemos conhecer a magnitude limite para visibilidade humana, dada por $$m=6$$ para a abertura da pupila de 6mm.
Assim, pela equação de Pogson, temos:
$$m-M=-2,5\log\frac{f}{F}$$
Tratando-se de um mesmo objeto de luminosidade constante,
$$m-M=5\log\frac{d}{10}$$
Substituindo valores de m e $$M=M_\odot=+4.8$$, obtemos
$$d=17$$ pc
INTERMEDIÁRIO
Para resolvermos o exercício, é necessário estabelecer um sistema coordenado no ciclo precessional da imagem, para assim, o ângulo $$\theta$$ ser encontrado.
Podemos definir:
Assim, temos uma proporção de
$$\frac{r_{thuban}}{r}=\frac{15}{16}$$
Dessa forma, temos
$$sen{\theta}={\frac{r_{thuban}}{r}}$$
Assim,
$$\frac{T_{pres}}{360°}=\frac{\Delta t}{360°-\theta}$$
$$\Delta t=20789$$ anos
AVANÇADO
Para resolvermos o problema, devemos, primeiramente, analisar o tipo de órbita que a nave descreve.
Como tem sua origem em um ponto muito distante e não pretende permanecer por muito tempo no Sistema Solar, temos que a órbita hiperbólica.
Para o tamanho da pupila humana, o menor ângulo que pode ser resolvido por um ser humano, no visível ($$\lambda=550$$nm) é:
$$\theta_{PR}=1,22\cdot\frac{550\cdot10^{-9}}{6\cdot10{-3}}$$
Assim, a distância da nave é de:
$$\theta_{PR}\approx \tan{\theta_{PR}}=\frac{l_{nave}}{d}$$
$$d=38,4$$ km
Estabelecendo uma conservação de energia na órbita:
$$\frac{GM_{Sol}}{a}={v_{inf}^{2}}$$
$$a=1,33\cdot10^{12}$$ m
Logo, como d<<a e, no infinito, \theta observado da nave na Terra será próximo ao ângulo de desvio,
$$c=d_{t}+a+d\approx d_{t}+a$$
$$cos{\theta}=\frac{a}{c}$$
$$\theta \approx 30$$ graus
Dessa forma, para a espaçonave no plano da eclíptica e mesmo sentido de órbita da Terra, e sabendo que, no dia 22/06 as coordenadas do Sol eram de (+23,5;90), podemos definir 2 triângulos esféricos:
Assim, temos
$$sen{\delta}=sen{60} sen{\varepsilon}$$
$$sen{\lambda}=\frac{cos{30}-sen{\varepsilon}sen{\delta}}{cos{\varepsilon}}{cos{\delta}}$$
Coordenadas: ($$\delta;\lambda$$)=($$+20,2; 57,8$$)