Soluções Física – Semana 3

Iniciante (Solução por João Guilherme Araújo)

Podemos ver que se o segundo corpo não alcançar o primeiro antes da velocidade do primeiro se tornar igual a sua a distância entre tornará a aumentar e o feito será impossível. Assim podemos olhar para o caso limite, onde eles se encontram no momento que as velocidades se igualam. Portanto: $$! t = \frac{v}{a} $$ onde $$t$$ é o tempo de encontro.

No encontro podemos igualar os espaços, assim:

$$! v(t – \Delta t) = \frac{at^2}{2} \Rightarrow v\Delta t = vt – \frac{at^2}{2} =\frac{v^2}{a} -\frac{v^2}{2a} = \frac{v^2}{2a}\Rightarrow 2a\Delta t = v$$

Como estamos lidando com um caso limite, vemos que se v for maior que $2a\Delta t$ também ocorrerá encontro, portanto a condição que queremos é $$v \geq 2a\Delta t$$

 

Intermediário (Solução por Victor Sales)

$$i)$$ No ciclo completo $$1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 1$$, temos que $$\eta = \frac{Q_{12} + Q_{23} + Q_{34} + Q_{41}}{Q_{12} + Q_{41}}$$

$$ii)$$ No ciclo $$1 \rightarrow 2 \rightarrow 4 \rightarrow 1$$, o rendimento é dado por
$$!\eta_1 = 1 + \frac{Q_{24}}{Q_{12} + Q_{41}} \Rightarrow Q_{12} + Q_{41} = \frac{Q_{24}}{\eta_1 – 1}$$

$$iii)$$ No ciclo $$2 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 2$$, temos $$Q_{42} = -Q_{24}$$, o que faz com que o rendimento seja dado por
$$!\eta_2 = 1 – \frac{Q_{23} + Q_{34}}{Q_{24}} \Rightarrow Q_{23} + Q_{34} = (1 – \eta_2)Q_{24}$$

Substituindo $$(iii)$$ e $$(ii)$$ em $$(i)$$:
$$!\eta = \eta_1 + \eta_2 – \eta_1 \eta_2$$

 

Avançado (Solução por Victor Sales)

Se a fonte é isotrópica, a fração de luz transmitida, $$T$$, é a razão entre área $$a$$ da pequena calota e área da esfera de raio $$R$$: $$T = \frac{a}{4 \pi R^2}$$.

A calota de altura $$h$$ tem área $$a = \frac{h}{R} 2 \pi R^2 = \frac{R – y}{R} 2 \pi R^2$$.

Lembrando que só a luz que tenha ângulo de incidência menor que $$\theta_c$$ onde $$n sin{\theta_c} = 1$$ escapa.

Usando que $$y = R cos{\theta_c}$$, temos:
$$!a = (1 – cos{\theta_c}) 2 \pi R^2 \Rightarrow T = \frac12 (1 – cos{\theta_c}) \Rightarrow T = \frac12 (1 – \sqrt{1 – \frac{1}{n^2}})$$