INICIANTE
Sabemos que, em 50 anos e com uma taxa de afastamento $$a$$, a distância da Terra à Lua ficaria de
$$D_0+\Delta D=D_f$$
$$D_0=D_f-c\Delta t$$
$$D_f=393.499km255m$$
Além disso, em $$T=50 anos$$, temos uma taxa de
$$a=\frac{\Delta D}{T}=\frac{c\Delta t}{T}$$
$$a=4,0$$cm/ano
INTERMEDIÁRIO
O intuito do problema em questão é avaliar a veracidade da aproximação da velocidade de trânsito $$v=\frac{2(R_s+R_m)}{t_t}$$. Consideremos, então, o esquema do percurso no trânsito, visto da Terra
Temos, assim, um triangulo isósceles com os lados medem $$d=a(1-e)=4,609\cdot10^7$$ km e a base $$b=2(R_{s}+R_{m})\approx 1,396\cdot10^6$$ km.
$$b^2=2d^2-2d^2cos{\theta}$$
$$4(R_{s}+R{m})^2=2(a(1-e))^2(1-cos{\theta})$$
$$cos{\theta}=1-\frac{2(R_s+R_m)^2}{(a(1-e))^2}$$
$$\theta=1,735^{circ}=0,030 rad$$
Assim, no instante de proximidade ao periélio, a trajetória $$S$$ pode ser aproximada para
$$S=\theta\cdot a(1-e)$$
$$S=1,39605\cdot10^6\approx 1,396\cdot10^6 km$$
Assim, nossa aproximação se valida, pois
$$\frac{S}{R_{s}+R_{m}} \approx 1$$
AVANÇADO
Para resolvermos o problema, devemos perceber que, como as repetições do ciclo ocorrem em um período $$S=2anos$$, $$S$$ refere-se ao período sinódico entre o asteroide e a Terra. Logo,
$$\frac{1}{S}=\frac{1}{T_t}-\frac{1}{T_a}$$
$$T_a=2anos$$
Lei de Kepler, descobrir o semi eixo maior da órbita:
$$a_a=T^{\frac{2}{3}}=1,587UA$$
Logo, para a menor excentricidade, a partir da configuração a seguir, podemos inferir que
$$d_{min}=a_a(1-e)-1$$^$$d_{max}=2a_a-(a_a(1-e)-1)=a(1+e)+1$$
Além disso, a energia refletida pelo asteroide de albedo $$a$$ nos pontos de máxima e mínima distância é
$$P_{max}=\frac{aL_s}{4(a(1+e))^2}r^2$$
$$P_{min}=\frac{aL_s}{4(a(1-e))^2}r^2$$
Colocando na equação de Pogson, com $$\Delta m=8$$ temos
$$8=-5 log{\frac{(1-e)(a(1-e)-1)}{(1+e)(a(1+e)+1)}}$$
$$10^{\frac{8}{5}}=\frac{(1+e)(a(1+e)+1)}{(1-e)(a(1-e)-1)}$$
Chegamos em tal equação de segunda ordem, a qual, resolvendo, com 0<e<1, chegamos em
$$e=0,284$$