Iniciante
Veja a belíssima fatoração da nossa expressão: $$ab+bc+cd+da=(a+c)(b+d)$$. Agora, nosso problema se resume a pegar dois pares dentre os números $${1,2,3,4}$$ e ver qual o maior produto das somas dos pares.
Possíveis produtos:
$$(1+2)(3+4)=21$$
$$(1+3)(2+4)=24$$
$$(1+4)(2+3)=30$$
Logo, o máximo da nossa soma é $$30$$
Intermediário
A)Para a maior diferença possível devemos ter o maior número possível menos o menor número possível, de preferência. O maior número possível de se formar é $$8765$$ e o menor é $$1234$$, Logo a máxima diferença é $$7531$$
B)Para gerar a menor diferença devemos ter a diferença entre os números da unidade de milhar sendo a menor possível, no caso 1.
Sendo $$A$$ e $$B$$, com $$A>B$$, o dígito dos milhares de $$A$$ é $$1$$ a mais que o de $$B$$ e e em compensação O resto dos algarismos de $$B$$ devem formar o maior número possível e os de $$A$$ devem formar o menor possível ($$876$$ e $$123$$, respectivamente), de modo a obter a menor diferença possível. Daí a menor diferença possível é $$5123-4876 = 247$$.
Avançado
Agora vem uma ideia nova: Suponha que $$a^2\le x <(a+1)^2$$ com $$a$$ inteiro não negativo e $$x$$ um real não negativo $$\Longrightarrow a\le \sqrt{x} <(a+1)^ \Longrightarrow [\sqrt{x}]=a$$
Assim, escrevendo $$x=a^2+b$$, com $$0\le b \le 2a$$, então $$[\sqrt{x}]=a$$.
Agora, faça $$a=x^2+y$$ e $$b=z^2+w$$, com $$x,y,z,w$$ inteiros não negativos, $$y\le 2x$$ e $$w\le 2z$$.
Assim $$[\sqrt{ab}]=[\sqrt{a}][\sqrt{b}]=xz \Longrightarrow ab<(xz+1)^2 \Longrightarrow (x^2+y)(z^2+w)<(xz)^2+2(xz)+1$$ $$(*)$$
Suponha que nenhum dos números é um quadrado perfeito, logo $$y\ge 1$$ e $$w\ge 1$$. Daí, juntando isso com $$(*)$$ temos que
$$(x^2 +1)(z^2 +1) \le (x^2+y)(z^2+w)<(xz)^2+2(xz)+1 \Longrightarrow (xz)^2+x^2 + z^2 +1<(xz)^2+2xz+1 \Longrightarrow x^2 +z^2<2xz$$, que é um absurdo por $$MA\ge MG$$. Logo $$x$$ ou $$z$$ é $$0$$ implicando que $$a$$ ou $$b$$ é um quadrado perfeito e daí o problema acabou.
Deixe um comentário