Desigualdade de Cauchy-Schwarz

Para introduzir essa desigualdade, explicarei primeiro a forma moralmente correta de enunciar Cauchy-Schwarz e depois mostrarei a versão útil para problemas olímpicos.

Produto Interno no $$\mathbb{R} ^n$$

Lembrando que o $$\mathbb{R} ^n$$ é apenas uma notação utilizada para representar vetores de números reais no espaço $$n$$-dimensional. Formalmente:

$$\mathbb{R} ^n = {(x_1,x_2,…,x_n) : x_i \in \mathbb{R} \forall i = 1,2,…,n}$$

No que segue, $$v=(a_1,…,a_n) ,u=(b_1,…,b_n)$$ serão vetores no espaço real $$n$$-dimensional.

Definição 1 (Produto Interno). Definiremos o produto interno de v e u como sendo

$$\langle\ v,u \rangle = a_1b_1+a_2b_2+…+a_nb_n$$

Note que o produto interno é bilinear. Isto é, para $$r$$ real e $$w$$ vetor,

$$\langle\ v,u +rw \rangle = \langle\ v,u \rangle +r\langle\ v,w \rangle$$

E o análogo à esquerda.

Além disso, ele é simétrico: $$\langle\ v,u \rangle = \langle\ u,v \rangle$$

Definição 2 (Norma). Definiremos a norma de um vetor $$u$$ como o real não negativo $$||u||$$ tal que

$$||u||^2=\langle\ v,v \rangle$$

Teorema de Cauchy-Schwarz (Forma intuitivamente correta). Para vetores $$u,v$$, vale

$$\langle\ v,u \rangle \le ||u|| ||v||$$

Prova. Por simplicidade de notação, seja $$\langle\ v,u \rangle = N(v,u)$$ e $$N(v,v)=N(v)=||v||^2$$ durante esta prova. (Perceba que essa não é uma notação padrão!!!)

Seja $$x$$ uma variável real.

$$N(u-xv) \ge 0$$

$$N(u)-N(u,xv)-N(xv,u)+N(xv) \ge 0$$ ($$N$$ é bilinear)

$$x^2 N(v) – 2xN(v,u)+N(u) \ge 0$$

Em particular, o famoso delta da expressão $$x^2 N(v) – 2xN(v,u)+N(u)$$ (olhando como um polinômio em $$x$$) deve ser não positivo. Logo

$$4N(v,u)^2-4N(v)N(u) \le 0$$

Desigualdade de Cauchy-Schwarz Olímpico

Com “intuitivamente correta”, eu não quis, sobre hipótese alguma, afirmar que esta versão é menos correta que a outra. Apenas tanto a prova quanto a visualização do teorema são muito mais simples do outro modo.

Teorema de Cauchy-Schwarz. Sejam $$a_1,…a_n,b_1,…,b_n$$ reais. Então vale:

$$a_1b_1 +…+a_nb_n \le \sqrt{(a_1^2+…+a_n^2)(b_1^2+…+b_n^2)}$$

Exercícios:

Exercício 1. Ache o caso de igualdade na igualdade de Cauchy-Schwarz.

Exercício 2. Ache todas as soluções reais $$(a,b)$$ da equação:

$$2(a^2+1)(b^2+1)=(a+1)(b+1)(ab+1)$$