Iniciante
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Cinemática
[/spoiler]
[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Suponha que o encontro aconteça a uma distância $$x$$ do ponto da estrada mais próximo da posição inicial do menino. Seja $$u=\sqrt{{\lambda}}v$$ a velocidade do menino. Igualando os tempos do menino e do carrinho:
\[\dfrac{a+x}{v}=\dfrac{\sqrt{b^2+x^2}}{u}\]
Reorganizando, chegamos a uma equação quadrática em $$x$$:
\[x^2(1-\lambda)-2a{\lambda}x+b^2-a^2\lambda=0\]
Queremos que o encontro aconteça, portanto, o $$\Delta$$ deve ser maior ou igual a zero. Impondo essa condição chegamos em:
\[\lambda\ge{\dfrac{b^2}{a^2+b^2}}\]
Logo, a velocidade mínima $$V_0$$ é:
\[V_0=v\sqrt{\dfrac{b^2}{a^2+b^2}}\]
[/spoiler]
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
\[V_0=v\sqrt{\dfrac{b^2}{a^2+b^2}}\]
[/spoiler]
Intermediário
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Cinemática
[/spoiler]
[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Observe que a unidade do eixo vertical correspondente ao ângulo não é conhecida. Portanto, uma estratégia viável é buscar duas quantidades para serem divididas uma pela outra, dessa forma, a resposta não depende dessa unidade desconhecida. Considere o diagrama abaixo, evidenciando os ângulos em questão:
Pela lei dos senos:
\[\dfrac{R_2}{\sin{\phi}}=\dfrac{R_1}{\sin\left({\pi}-({\theta}+{\phi})\right)}\]
Diferenciando em relação ao tempo a equação acima, chegamos em:
\[R_1\cos{\phi}\dot{\phi}=R_2\cos({\theta}+\phi)\left(\dot{\theta}+\dot{\phi}\right)\]
A taxa de variação de $$\theta$$ é a velocidade angular relativa $$\omega={\omega}_2-{\omega}_1$$ e a taxa de variação de $$\phi$$ é a inclinação da reta obtida pelo gráfico fornecido. Escolhamos dois pontos convenientes para calcular $$\dot{\phi}$$, de tal forma que não apareça nenhuma função trigonométrica, pois não conseguimos, a priori, computar o valor dessa função, visto que não temos a unidade do ângulo. Escolhamos $$\theta=0$$ e $$\theta=\pi$$. Para esses ângulos, $$\dot{\phi}$$ toma os valores:
\[\dot{\phi}_1=\dfrac{{\omega}k}{1-k}\]
e
\[\dot{\phi}_2=-\dfrac{k{\omega}}{1+k}\]
Observe que esses dois ângulos de $$\theta$$ correspondem a $$\phi$$ igual a zero. Por isso, no gráfico, há duas inclinações distintas para $$\phi=0$$: uma para $$\theta=0$$ e outra para $$\theta=\pi$$. Obtendo os valores de $$\dot{\phi}_1$$ e $$\dot{\phi}_2$$ pelo gráfico e tomando a divisão, chegamos em:
\[\dfrac{\dot{\phi}_1}{\dot{\phi}_2}=\dfrac{1+k}{k-1}\approx{\dfrac{10}{-2,66}}=-3,76\]
Resolvendo para $$k$$:
\[k\approx{0,58}\]
[/spoiler]
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
\[k\approx{0,58}\]
[/spoiler]
Avançado
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Energia
[/spoiler]
[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Seja $$h$$ a altura inicial do $$C.M.$$ do slinky. Por consevação de energia, a velocidade requerida é:
\[v_0=\sqrt{2gh}\]
A tarefa difícil é calcular $$h$$. Para isso, considere que o slinky é formado por $$N$$ partes de massa igual a $$m/N$$. As constantes elástica de cada pedaço é $$Nk$$, visto que estão conectados em série. No equilíbrio, temos, para a e-nésima massa de baixo para cima:
\[kN.l_n=(n-1)mg/N\]
Onde $$l_n$$ é o tamanho da e-nésima massa. A relação acima é obtida impondo o equilíbrio dessa massa. A posição vertical da e-nésima massa é dada pela soma dos comprimentos de cada pedaço abaixo dele:
\[x_n=\dfrac{mg}{N^2k}\sum_{j=1}^{n} (j-1)\]
A posição do C.M. é:
\[h=\dfrac{1}{m}\sum_{j=1}^{N} \dfrac{m}{N}\left(x_j-\dfrac{1}{2}l_j\right)\]
Onde foi subtraido de cada posição, metade do tamanho do pedaço em questão. Isso foi feito para que a soma seja computada tomando a posição do centro de cada massa. Agora, basta computarmos as somas e impor que $$N$$ é muito maior que um. As somas necessárias são duas: a dos $$n$$ primeiros naturais e a dos $$n$$ primeiros quadrados dos naturais. A primeira é simplesmente uma progressão aritmética e a segunda pode ser feita da seguinte forma:
\[(1+1)^3=1^3+3.1^2.1+3.1.1^2+1^3\]
\[(1+2)^3=1^3.1^2.2+3.1.2^2+3+2^3\]
\[(1+3)^3=1^3.1^2.3+3.1.3^2+3+3^3\]
\[(…)\]
\[(1+k)^3=1^3+3.1^2.k+3.1.k^2+k^3\]
Somando todos os termos da esquerda e igualando isso a soma de todos os termos da direita, teremos uma soma telescópica. Os termos restantes são (S é a soma requerida):
\[(1+k)^3=k+\dfrac{3}{2}k(k+1)+3S+1\]
Logo:
\[S=\dfrac{k^3}{3}+\dfrac{k^2}{2}+\dfrac{k}{6}\]
Para $$k$$ muito grande:
\[S=\dfrac{k^3}{3}\]
Substituindo as somas nas expressões obtidas, chegamos em:
\[h=L/3\]
Portanto:
\[v_0=\sqrt{\dfrac{2}{3}gL}\]
[/spoiler]
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
\[v_0=\sqrt{\dfrac{2}{3}gL}\]
[/spoiler]