Escrito por Antonio Italo
Essa ideia busca mostrar como o conceito de centro de massa/centro de momento pode ser útil na resolução de problemas de colisões tanto em uma quanto em duas dimensões.
Definição
A definição do centro de massa de um sistema é dado da seguinte forma (em notação vetorial):
$$\vec{r}_{CM}=\dfrac{\displaystyle{\sum m_{i}\vec{r}_{i}}}{M}$$
Sendo $$m_{i}$$ a massa da i-ésima partícula desse sistema, $$\vec{r}_{i}$$ o vetor posição da i-ésima partícula e $$M$$ a massa total do sistema. Baseado nessa definição, temos:
$$\vec{V}_{CM}=\dfrac{\vec{P}}{M}$$
Sendo $$\vec{P}$$ o momento total do sistema. Note que vale também:
$$\vec{F}_{res}=M\vec{a}_{CM}$$
Considerando $$M$$ constante. A partir disso, é interessante notar que quando o momento de um determinado sistema se conserva, a velocidade do centro de massa do mesmo também se conserva e, portanto, o referencial do centro de massa é inercial, podendo assim ser utilizado para resolução de questões sem a necessidade de fazer considerações a respeito das chamadas forças fictícias. Algumas propriedades desse referencial fazem a resolução de problemas ser muito simplificada, sendo assim, vejamos alguma dessas propriedades a seguir.
Propriedades no caso da colisão entre dois corpos
Consideremos um referencial inercial $$S$$ que chamaremos de referencial do laboratório no qual duas partículas de massa $$m_{1}$$ e $$m_{2}$$ possuem velocidades $$\vec{V}_{1}$$ e $$\vec{V}_{2}$$. Se calcularmos a velocidade das mesmas no referencial do $$C.M.$$, a partir da definição, obtemos:
$$\vec{V}_{1,CM}=\vec{V}_{1}-\vec{V}_{CM}=\vec{V}_{1}-\dfrac{m_{1}\vec{V}_{1}+m_{2}\vec{V}_{2}}{m_{1}+m_{2}}=\dfrac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\left(\vec{V}_{1}-\vec{V}_{2}\right)$$
e, analogamente:
$$\vec{V}_{2,CM}=\dfrac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\left(\vec{V}_{2}-\vec{V}_{1}\right)$$.
Daqui, fica claro que o momento total no ref. do centro de massa é zero, sendo assim, as velocidades das partículas $$1$$ e $$2$$ apontam ao longo da mesma direção, mas em sentidos opostos. A partir daqui, podemos mostrar uma propriedade muito útil em problemas de colisões: Em uma colisão perfeitamente elástica, no referencial do centro de massa, o módulo da velocidade das partículas permanecem inalterados. A demonstração desse fato é bem simples, bastando utilizar o fato de que o momento é zero e a conservação da energia. A seguir, vemos um exemplo de como essa propriedade pode ser útil.
Exemplo 1:
Em uma colisão bidimensional, uma esfera de massa $$M$$ é lançada com uma certa velocidade $$V_{0}$$ para colidir elasticamente com uma esfera de massa $$m<M$$ em repouso. Calcule o maior ângulo de espalhamento $$\theta$$ possível da esfera de massa $$M$$ em relação a direção inicial do seu movimento.
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No referencial do centro de massa, a esfera de maior massa possui velocidade dada por:
$$V’=V_{0}-V_{CM}=\dfrac{mV}{m+M}$$
Sabemos que o módulo dessa velocidade não mudará antes e depois da colisão, sendo assim, podemos escrever:
$$\vec{V}=\vec{V}_{CM}+\vec{V}’$$
Onde $$\vec{V}$$ é a velocidade final da esfera de massa $$M$$ em relação à terra e $$\vec{V}’$$ é a velocidade final da massa em relação ao $$CM$$, com módulo calculado anteriormente. Podemos esquematizar então:
Onde a circunferência foi desenhada para indicar que podemos variar a direção de $$\vec{V}’$$ ao longo da mesma. No caso do maior ângulo $$\theta$$, o vetor $$\vec{V}$$ tangencia a circunferência, conforme no esquema a seguir:
Utilizando a definição de seno e o fato de que a tangente à uma circunferência é perpendicular ao raio da mesma, obtemos:
$$\sin \theta_{max}=\dfrac{V’}{V_{CM}}=\dfrac{m}{M}$$
Logo, nossa resposta final é:
$$\theta_{max} = \sin^{-1} \left(\dfrac{m}{M}\right)$$
É importante ressaltar que essa solução é incrivelmente curta quando comparada a solução no referencial da Terra, que pode ser encontrada em um problema da semana.
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Exemplo 2:
Encontre a fórmula geral para uma colisão unidimensional de coeficiente de restituição $$e$$ onde uma massa $$m_{1}$$ com velocidade $$V_{1,0}$$ para a direita colide com uma massa $$m_{2}$$ com velocidade $$V_{2,0}<v_{1}$$ para a direita. Utilize durante toda sua solução velocidades positivas para a direita.
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É possível resolver isso no referencial da terra aplicando o a definição de coeficiente de restituição e a conservação do momento, contudo, isso gerará um sistema de duas variáveis um tanto difícil de se resolver, portanto, podemos utilizar o referencial do centro de massa para simplificar nossos cálculos. Aqui, utilizaremos $$’$$ quando estivermos nos referindo a uma velocidade no referencial do centro de massa. Nesse referencial, vale:
$$m_{1}V’_{1}+m_{2}V’_{2}=m_{1}V’_{1,0}+m_{2}V’_{2,0}=0$$
e:
$$e=\dfrac{V’_{2}-V’_{1}}{V’_{1,0}-V’_{2,0}}$$
Podemos resolver esse sistema normalmente e substituir $$V’_{1,0}$$ e $$V’_{2,0}$$ depois, porém, se utilizarmos o fato que o momento no referencial do centro de massa é zero, uma solução muito mais simples surge:
$$V’_{1}=-e V’_{1,0}$$
$$V’_{2}=-e V’_{2,0}$$
Dessa forma, no referencial da terra:
$$V_{1}=V_{CM}-e V’_{1,0}=V_{CM}\left(1+e\right)-eV_{1,0}$$
$$V_{2}=V_{CM}-eV’_{2,0}=V_{CM}\left(1+e\right)-eV_{2,0}$$
Substituindo e simplificando:
$$V_{1}=\dfrac{\left(m_{1}-em_{2}\right)V_{1,0}+m_{2}\left(1+e\right)V_{2,0}}{m_{1}+m_{2}}$$
$$V_{2}=\dfrac{m_{1}\left(1+e\right)V_{1,0}+\left(m_{2}-em_{1}\right)V_{2,0}}{m_{1}+m_{2}}$$
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Apesar de termos exemplificado acima como o referencial do centro de massa pode ser útil em problemas de colisões, há uma gama de problemas bem maior onde ele facilita a resolução, pois em geral o referencial do centro de massa é sempre mais simétrico que o referencial do laboratório. Algumas dessas situações poderão ser vistas nos nossos problemas relacionados.
Problemas Relacionados
1 – Molas
Dois objetos idênticos, de massa $$m$$, repousam sobre uma mesa plana lisa. Eles estão conectados por meio de uma mola leve e inicialmente não-deformada, de comprimento natural $$l_{0}$$ e constante elástica $$k$$. Em um certo instante, um dos objetos adquire uma velocidade $$v_{0}$$ (em relação à Terra) em uma direção perpendicular à mola. Determine a máxima distensão da mola durante o movimento subsequente do sistema, sabendo que esta é muito menor que $$l_{0}$$.
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$$\delta \approx \dfrac{mV_{0}^{2}}{kl_{0}}$$
Uma solução para esse problema pode ser encontrada aqui (Avançado)
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2 – Coeficiente de restituição
Numa colisão unidimensional entre duas partículas diferentes de massas $$m_{1}$$ e $$m_{2}$$ na qual antes da colisão a velocidade relativa entre as mesmas é $$V_{rel}$$ o coeficiente de restituição vale $$e$$. Calcule a energia dissipada na colisão.
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$$E_{dis}=\left(1-e^{2}\right)\dfrac{m_{1}m_{2}}{2\left(m_{1}+m_{2}\right)}V_{rel}^{2}$$
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3 – Centro de Massa acelerado
Duas massas $$m_{1}$$ e $$m_{2}$$ são ligadas por uma mola de constante elástica $$k$$ e comprimento inicial igual ao natural $$l_{0}$$. Uma força $$F$$ é aplicada na massa $$m_{2}$$ distanciando-a da massa $$m_{1}$$. Encontre as distâncias máximas e mínimas entre as massas no movimento subsequente.
[spoiler title=’Dica’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Nessa situação, o centro de massa está acelerado, portanto, se for estudar o movimento nele será necessário adicionar uma força fictícia em cada partícula. Essa força é dada por:
$$\vec{F}_{i}=-m_{i}\vec{a}_{CM}$$
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[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
$$d_{min}=l_{0}$$
$$d_{max}=l_{0}+\dfrac{2m_{1}F}{\left(m_{1}+m_{2}\right)k}$$
[/spoiler]de
4 – Mais molas
Aviso: Para resolver essa questão é necessário conhecer conteúdos cobrados somente a partir do nível $$2$$ da OBF, portanto, recomenda-se que alunos do nível $$1$$ pulem o item b).
Duas bolas de massa $$m$$ idênticas, perfeitamente elásticas, são ligadas por uma mola de constante elástica $$k$$ para que se forme um sistema tipo haltere. Esse haltere repousa sobre uma superfície horizontal escorregadia (todas as forças de atrito podem ser negligenciadas). A terceira bola (idêntica às que compõem o haltere) aproxima-se coaxialmente do haltere do lado esquerdo com velocidade $$v$$ (ver figura). A quarta bola (idêntica às outras) se coloca coaxialmente para a direita do haltere.
a) Encontre a velocidade do centro de massa do haltere logo após a colisão com a bola da esquerda.
b) Para quais valores de $$L$$ a velocidade final da quarta bola será exatamente igual a $$v$$.
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a)
$$V_{CM}=\dfrac{v}{2}$$
b)
$$L=\pi v \left(n+\dfrac{1}{2}\right) \sqrt{\dfrac{m}{2k}}$$
Sendo $$n=0,1,2,3…$$.
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