Soluções Cálculo – Semana 3

Iniciante

Para resolvermos

$$!\displaystyle \int_{0}^{24} v(t)dx$$

podemos dividir o gráfico de $$v(t)$$ em intervalos e integrar cada parte e somá-las, já que não sabemos o valor de $$v(t)$$:

$$!\displaystyle \frac{1}{2}\int_{0}^{4} 20dx + \displaystyle \int_{4}^{16} 20dx + \displaystyle \frac{1}{2}\int_{16}^{24} 20dx$$

$$\frac{1}{2}20x$$ nos intervalos de $$0$$ a $$4$$ $$+$$ $$20x$$ nos intervalos de $$4$$ a $$16$$ $$+$$ $$\frac{1}{2}20x$$ nos intervalos de $$16$$ a $$24$$.
O que nos dá: $$10(4) – 10(0)$$ $$+$$ $$20(16)-20(4)$$ $$+$$ $$10(24) – 10(16)=$$
$$!=360$$
Ou seja, o carro percorreu $$360$$ metros nesses $$24$$ segundos, e vimos mais um exemplo de integração de derivada, resolvendo os dois problemas pedidos!

Intermediário

Para resolver o problema do humor do gato do João (parte dele, aliás, porque ele ainda não sabe totalmente em que circunstâncias e por que seu gato se comportou assim naquele determinado dia), precisaremos resolver sua equação diferencial: organizá-la de modo que cada membro da equação tenha um termo de $$x$$ e outro de $$y$$ (inicialmente da forma: $$dx$$ e $$dy$$), para depois integrar cada membro e acharmos uma função $$y$$ em termos de $$x$$, j\’a que, integrando uma derivada, encontraremos sua função original, como foi exemplificado em um problema das semanas anteriores do Noic.
Desta forma, teremos:

$$!dy=(3x^2-2)dx$$
$$!\displaystyle \int dy=\displaystyle 3\int x^2dx – \displaystyle \int 2dx$$
$$!y=\frac{3x^3}{3}-2x+C$$
$$!f(x)=x^3-2x+C$$
Que é a função que João procura!

Avançado

Para acharmos a área da piscina, vamos utilizar mais uma vez integrais! Ao observarmos a imagem, a função $$y=sin(x\pi)$$ está sobre a função $$x^3-4x$$, então podemos escrever a integral que queremos como

$$!\displaystyle \int_{0}^{2} [sin(x\pi)-(x^3-4x)]dx$$
$$!\displaystyle \int_{0}^{2} sin(x\pi)dx – \displaystyle \int_{0}^{2} x^3dx + \displaystyle 4\int_{0}^{2} xdx$$
$$!-cos(x\pi)-\frac{x^4}{4}+\frac{4x^2}{2}$$

nos intervalos de $$0$$ a $$2$$:
$$!-cos(2\pi)-(-cos(0))-\frac{2^4}{4}-(-\frac{0^4}{4})+2(2^2)-2(0^2))=$$
$$!=4u.a.$$