Por Bruna Lopes
No tópico anterior, vimos alguns esquemas que conectam sistemas de coordenadas diferentes e que nos permite calcular a posição de corpos celestes. Entretanto, até o momento, conseguíamos calcula-la apenas no momento da passagem meridiana, ou seja, apenas quando H=0h. Como trata-se de um instante muito particular, é vantajoso saber como calcular posições para quando os astros possuem alturas diferentes da altura máxima. Pra isso, precisamos saber certas técnicas geométricas, as quais veremos nesta seção.
Na escola, vimos muitas vezes que a menor distância entre dois pontos (a qual chamamos geodésica) é uma reta. Bom, para um referencial plano, tal sentença é verdadeira, mas nem sempre nos encontramos em situações nas quais podemos considerar isso. A Terra, por exemplo, apresenta um formato esférico, Neste caso, portanto, a menor distância entre dois pontos na superfície esférica é uma curva, mais especificamente um arco de circunferência máxima. A geometria usada para descrever tal espaço é chamada de Geometria Esférica.
Com esse conceito, podemos determinar o que é um triângulo esférico: consiste em uma figura, na superfície esférica, formada na intersecção de três círculos máximos. Vamos chamar de $$a$$, $$b$$ e $$c$$ os comprimentos dos arcos e de $$A$$, $$B$$ e $$C$$ os ângulos esféricos.
Note que, no caso de um triângulo esférico, temos que $$A+B+C > 180^{\circ}$$ é válido. Podemos ver, então, que é possível, nesse tipo de geometria, criarmos um triângulo com 2 ou 3 ângulos de $$90^{\circ}$$!! Chamamos esses tipos de biretângulos e triretângulos, respectivamente.
Com um triângulo esférico, podemos definir um diedro associado unindo os vértices ao centro. Esses ângulos diedros, correspondentes aos ângulos formados na intersecção de dois planos que contém cada um 1 lado do diedro, possuem a mesma medida dos ângulos esféricos internos A, B e C. A diferença é a que esses últimos são medidos sobre os círculos máximos correspondentes.
Agora, vamos deduzir algumas leis da trigonometria esférica que nos ajudarão a resolver alguns problemas na astronomia de posição:
Lei dos cossenos
Vamos considerar o triangulo esférico abaixo, onde as semirretas $$\overline{\rm AD}$$ e $$\overline{\rm AE}$$ são perpendiculares a $$\overline{\rm OA}$$.
Podemos aplicar a lei dos cossenos nos triângulos planos ADE e ODE, sabendo que a medida do arco DAE=A e a medida do arco DOE=a. Obtemos, então:
$$DE^2=OD^2+OE^2-2OD\cdot OE \cos{a}$$
$$DE^2=AD^2+AE^2-2AD\cdot AE \cos{A}$$
Subtraindo uma da outra e sabendo que $$ OD^2-AD^2=OE^2-AE^2=OA^2$$
$$2OA^2-2OD\cdot OE\cos{a}+2AD\cdot AE \cos{A}=0$$
Como $$AD=OD\sin{c}$$ e $$AE=OE\sin{b}$$
$$2OA^2+2OD\cdot OE(-\cos{a}+\sin{c}\sin{b}\cos{A})=0$$
Se dividirmos tudo por $$2OD\cdot OE$$ além de termos que $$\frac{OA}{OD}=\cos{a}$$ e $$\frac{OA}{OE}=\sin{b}$$, chegamos em
$$\cos{a}=\cos{b}\cos{c}+\sin{b}\sin{c}\cos{A}$$
$$\cos{b}=\cos{a}\cos{c}+\sin{a}\sin{c}\cos{B}$$
$$\cos{c}=\cos{b}\cos{a}+\sin{b}\sin{a}\cos{C}$$
Pode-se demonstrar que é valida para os demais arcos a e c.
Lei dos senos
Utilizando os resultados obtidos anteriormente, podemos escrever cada equação da forma
$$(\cos{a}-\cos{b}\cos{c})^2=(\sin{b}\sin{c}\cos{A})^2$$
$$(\cos{b}-\cos{a}\cos{c})^2=(\sin{a}\sin{c}\cos{B})^2$$
$$(\cos{c}-\cos{b}\cos{a})^2=(\sin{b}\sin{a}\cos{C})^2$$
Substituindo todos os $$\cos^2{\theta}=1-\sin^2{\theta}$$
$$\sin^2{b}\sin^2{c}\sin^2{A}=2-2\cos{a}\cos{b}\cos{c}-(\sin^2{a}+\sin^2{b}+\sin^2{c})$$
$$\sin^2{a}\sin^2{c}\sin^2{B}=2-2\cos{a}\cos{b}\cos{c}-(\sin^2{a}+\sin^2{b}+\sin^2{c})$$
$$\sin^2{b}\sin^2{a}\sin^2{C}=2-2\cos{a}\cos{b}\cos{c}-(\sin^2{a}+\sin^2{b}+\sin^2{c})$$
Tirando a raiz, igualando-nas todas e dividindo por $$\sin{a}\sin{b}\sin{c}$$, chegamos na relação desejada
$$\frac{\sin{A}}{\sin{a}}=\frac{\sin{B}}{\sin{b}}=\frac{\sin{C}}{\sin{c}}$$
Lei do cosseno-cosseno ou quatro elementos
Nesse caso, temos conhecimento de dois lados (a, b por exemplo) e dois ângulos consecutivos (A, C) de um triângulo esférico. Assim, ela é obtida por meio de substituição da lei dos senos nas leis do cosseno para cada ângulo. Quando isso é feito, temos
$$\cot{a}\sin{b}=\cos{b}\cos{C}+\sin{C}\cot{A}$$