Problema 5
Considere o polinômio do segundo grau $$P(x) = 4x^2 + 12x – 3015$$. Defina a sequência de polinômios $$P_1(x) = \frac{P(x)}{2016}$$ e $$P_{n+1}(x) = \frac{P(P_n(x))}{2016}$$ para todo inteiro $$n \geq 1$$.
(a) Prove que existe um número real $$r$$ tal que $$P_n(r) < 0$$ para todo inteiro positivo $$n$$.
(b) Determine a quantidade de inteiros $$m$$ tais que $$P_n(m) < 0$$ para infinitos inteiros positivos $$n$$.
Solução de Caio Hermano:
(a) Queremos encontrar um real $$r$$ para o qual $$P_n(r)=\frac{P(P_{n-1}(r))}{2016}$$ seja negativo para todos os inteiros positivos $$n$$. Em particular, desejamos que o valor do polinômio $$P$$ avaliado na variável $$P_{n-1}(r)$$ seja sempre relativamente pequeno (pois, senão, $$P_n(r)=\frac{P(P_{n-1}(r))}{2016}$$ seria positivo já que $$P$$ é uma função do 2° grau convexa).
Assim, faz sentido pensarmos no valor mínimo que o polinômio $$P$$ pode assumir, ou seja, no seu vértice $$V=(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a})=(-\frac{12}{4},-\frac{12^2-4\cdot 4\cdot (-3015)}{4\cdot 4})=(-\frac{3}{2},-3024)$$.
Veja que: $$P_1(-\frac{3}{2})=\frac{P(-\frac{3}{2})}{2016}=-\frac{3024}{2016}=-\frac{3}{2}$$. Note que:
$$P_k(-\frac{3}{2})=-\frac{3}{2} \Rightarrow P_{k+1}(-\frac{3}{2})=\frac{P(P_k(-\frac{3}{2}))}{2016}=\frac{P(-\frac{3}{2})}{2016}=-\frac{3024}{2016}=-\frac{3}{2}$$
Provamos indutivamente que $$P_n(-\frac{3}{2})=-\frac{3}{2}<0, \forall n \in \mathbb{Z}$$. Logo, $$-\frac{3}{2}$$ é uma solução.
(b) Defina $$P_0(x)=x$$. Analisando o polinômio $$P(x)$$, podemos observar que:
$$\frac{P(x)}{2016}= \frac{4x^2 + 12x – 3015}{2016}= \frac{(2x+3)^2-3024}{2016}= \frac{(2x+3)^2}{2016}- \frac{3}{2} \Rightarrow2\cdot \frac{P(x)}{2016} +3=\frac{(2x+3)^2}{1008}$$
Fazendo $$x=P_k(x)$$, temos que: $$2P_{k+1}(x)+3=\frac{(2P_k(x)+3)^2}{1008}$$. Iterando essa equação diversas vezes, encontramos que:
$$2P_n(x)+3=\frac{(2P_{n-1}(x)+3)^2}{1008}=\frac{(\frac{(2P_{n-2}(x)+3)^2}{1008})^2}{1008}=\frac{(2P_{n-2}(x)+3)^4}{1008^{1+2}}=\frac{(\frac{(2P_{n-3}(x)+3)^2}{1008})^4}{1008^{1+2}}= \frac{(2P_{n-3}(x)+3)^8}{1008^{1+2+4}} …$$
$$\Rightarrow 2P_n(x)+3=\frac{(2P_{n-i}(x)+3)^{2^i}}{1008^{1+2+…+2^{i-1}}}=\frac{(2P_{n-i}(x)+3)^{2^i}}{1008^{2^i-1}} \Rightarrow … \Rightarrow2P_n(x)+3=\frac{(2P_0(x)+3)^{2^n}}{1008^{2^n-1}}$$
Daí $$2P_n(x)+3=\frac{(2x+3)^{2^n}}{1008^{2^n-1}}$$. Então,
$$P_n(x)<0 \Leftrightarrow 2P_n(x)= \frac{(2x+3)^{2^n}}{1008^{2^n-1}}-3 <0 \Leftrightarrow \frac{(2x+3)^{2^n}}{1008^{2^n-1}} < 3 \Leftrightarrow (\frac{2x+3}{1008})^{2^n} < \frac{3}{1008}=\frac{1}{336} \Leftrightarrow$$
$$\Leftrightarrow -\sqrt[2^n]{\frac{1}{336}} < \frac{2x+3}{1008} < \sqrt[2^n]{\frac{1}{336}}\Leftrightarrow-1008 \cdot \sqrt[2^n]{\frac{1}{336}} < 2x+3 < 1008 \cdot \sqrt[2^n]{\frac{1}{336}}$$ $$(1)$$
Suponha que $$m \in \mathbb{Z}$$ é tal que $$P_n(m) < 0$$ para infinitos inteiros positivos $$n$$. Sabemos que, quando $$n$$ cresce indeterminadamente, $$\sqrt[2^n]{\frac{1}{336}}$$ fica tão próximo de $$1$$ quanto queiramos (esse conceito é formalmente conhecido por limite: $$lim_{n\to \infty} \sqrt[2^n]{\frac{1}{336}} = 1$$). Como $$m$$ satisfaz $$(1)$$ para infinitos inteiros positivos $$n$$ e $$1008 \cdot \sqrt[2^n]{\frac{1}{336}}$$ fica tão próximo de $$1008$$ quanto queiramos, devemos ter que:
$$-1008<2m+3<1008 \Leftrightarrow -505,5 < m < 502,5 \Leftrightarrow -505 \leq m \leq 502$$
É fácil ver que todos os inteiros nesse intervalo satisfazem o enunciado. De fato, pela definição de limite, $$\exists N \in \mathbb{Z}$$ tal que $$\forall n \in \mathbb{Z}, n>N$$, temos que:
$$\sqrt[2^n]{\frac{1}{336}} > \frac{1007}{1008} \Rightarrow 1008\cdot\sqrt[2^n]{\frac{1}{336}} >1007\geq 2m+3 \geq -1007 >-1008\sqrt[2^n]{\frac{1}{336}}$$
Portanto, temos $$502+505+1=1008$$ inteiros satisfazendo satisfazendo a condição do enunciado.
Resposta: (a) $$-\frac{3}{2}$$ (b) $$1008$$ números.