Problema 5
No triângulo $$ABC$$, seja $$r_A$$ a reta que passa pelo ponto médio de $$BC$$ e é perpendicular à bissetriz interna de $$\measuredangle BAC$$. Defina $$r_B$$ e $$r_C$$ da mesma forma. Sejam $$H$$ e $$I$$ o ortocentro e o incentro de $$ABC$$, respectivamente. Suponha que as três retas $$r_A, r_B, r_C$$ definam um triângulo. Prove que o circuncentro desse triângulo é o ponto médio de $$HI$$.
Solução de Caio Hermano:
Considere $$X=r_B\cap r_C, Y=r_C\cap r_A, Z=r_A\cap r_B$$ os vértices do triângulo formado pelas 3 retas $$r_A,r_B,r_C$$, $$O$$ o circuncentro do $$\Delta XYZ$$ e $$D,E,F$$ os pontos médios dos arcos $$BC, CA,AB$$ que não contém os vértices $$A,B,C$$, respectivamente. Queremos provar que $$O$$ é o ponto médio do segmento $$HI$$.
Esse problema possui um enunciado que lembra muitas outras questões de geometria que são resolvidas a partir de uma poderosa técnica conhecida por homotetia. Agora nos resta decidir: Quem é o centro da homotetia que devemos usar?
Vejamos os lados de $$\Delta XYZ$$ são perpendiculares as bissetrizes internas do $$\Delta ABC$$, outros triângulos com essa propriedade são os triângulos formados pelos pontos médios dos arcos, pontos de contato do incírculo e os ex-incentros relativos aos três vértices do triângulo. Contudo, o que mais se relaciona com os pontos médios dos lados é o $$\Delta DEF$$. Além disso, queremos provar que $$HI=2HO$$, então tomar $$H$$ como centro parece uma boa opção.
Tome $$A’$$ a imagem de $$H$$ a partir de uma reflexão pelo ponto $$M$$, veja que: $$\angle BA’C = \angle BHC = 180 -\angle BAC$$ e $$\angle ACA’=\angle ACB +\angle BCA’=\angle ACB+\angle CBH = 90$$. Assim, $$A’ \in (ABC)$$ e $$AA’$$ é um diâmetro da circunferência.
Temos que: $$r_A\perp AD,A’D\perp AD \Rightarrow r_A \| A’D$$ e $$HA’=2HM$$.
Considere a homotetia $$\phi$$ de centro $$H$$ e razão $$2$$. Obtemos, então, que: $$\phi (M)=A’ \Rightarrow \phi (r_A)=A’D$$ pois homotetias levam retas em outras retas paralelas às primeiras. Analogamente, $$\phi (r_b)=B’E,\phi (r_C)=C’F$$, em que $$B’$$ e $$C’$$ são definidos de forma análoga ao ponto $$A’$$.
Daí, o triângulo $$\Delta XYZ$$ cujos lados têm como retas suporte $$r_A,r_B,r_C$$ é levado no triângulo cujos lados têm como retas suporte $$A’D,B’E,C’F$$, digamos $$\Delta X’Y’Z’$$.
Observe ainda que: $$DE\| X’Y’, DF\| X’Z’ \Rightarrow X’EDF$$ é um paralelogramo $$\Rightarrow X’D$$ passa pelo ponto médio de $$EF$$. Mas, $$EF\| Y’Z’ \Rightarrow X’D$$ também passa pelo ponto médio de $$Y’Z’ \Rightarrow D$$ é o ponto médio de $$Y’Z’$$. Analogamente, $$E$$ e $$F$$ são os pontos médios de $$X’Z’$$ e $$X’Z’$$, respectivamente. Entretanto, $$ID\perp Y’Z’,IE\perp X’Z’,IF\perp X’Y’ \Rightarrow I$$ é o encontro das mediatrizes dos lados de $$\Delta X’Y’Z’$$.
Logo, $$I$$ é o circuncentro do triângulo $$\Delta X’Y’Z’$$ e como $$\phi (XYZ) =X’Y’Z’$$, o circuncentro de $$\Delta XYZ$$ será levado em $$I$$, o que implica que $$\phi (O) = I \Rightarrow \frac{HI}{HO}=2 \Rightarrow$$ $$O$$ é o ponto médio de $$HI$$.
Portanto, o circuncentro do triângulo formado pelas retas $$r_A,r_B,r_C$$ é o ponto médio do segmento $$HI$$.