Escrita por Vinicius Névoa
1) O poço quadrado infinito
Um poço quadrado infinito em uma dimensão consiste de uma função potencial que vale $$V(x)=0$$ entre $$x=0$$ e $$x=a$$, e $$V(x)=\infty$$ fora desse intervalo.
a) Determine a forma geral função de onda de uma partícula de massa $$m$$ nesse poço.
b) Se $$\Psi(x,0) = \dfrac{1}{\sqrt{a}}$$ em $$t=0$$, determine a probabilidade de que a partícula esteja no estado fundamental em $$t>0$$.
[spoiler title=’Dica’ style=’default’ collapse_link=’true’]Veja a ideia de mecânica quântica na página do NOIC.[/spoiler]
2) O poço quadrado finito
Um poço quadrado finito em uma dimensão consiste de uma função potencial que vale $$V(x)=-V_{0}$$ entre $$x=0$$ e $$x=a$$, e $$V(x)=0$$ fora desse intervalo. Uma partícula de massa $$m$$ é dita ligada se sua energia é tal que $$-V_{0}<E<0$$.
a) Ache a equação transcendental que fornece as energias possíveis para os estados ligados do poço quadrado infinito.
[spoiler title=’Dica’ style=’default’ collapse_link=’true’]Use as condições de contorno para $$\Psi$$ em cada extremidade do poço.[/spoiler]
Por sua vez, se $$E>0$$, a partícula é dita estar em um estado de espalhamento. Normalmente, estados de espalhamento podem ser refletidos por potenciais localizados como o poço quadrado finito.
b) Uma partícula com função de onda incidente $$\psi_{i}(x,t)=A e^{i(\omega t -k x)}$$ vem do infinito da esquerda para a direita, e, ao encontrar o poço quadrado finito, é refletida: $$\psi_{r}(x,t)=B e^{i(\omega t +k x)}$$. Ache o coeficiente de reflexão $$R=\left(\dfrac{A}{B} \right)^2$$. Qual a condição para que a reflexão seja garantida?
3) A mais alta torre, o mais fundo poço
Para qualquer potencial físico, tanto a função de onda $$\Psi(x,t)$$ quanto sua derivada $$\dfrac{\partial \Psi(x,t)}{\partial x}$$ são funções contínuas na coordenada $$x$$. Contudo, a segunda dessas condições não vale na presença de singularidades (i.e, divergências) no potencial $$V(x)$$. Um caso de particular interesse é o potencial delta de Dirac:
$$V(x)=V_{0} \delta (x)$$, $$V_{0}>0$$
No que segue, considere uma função de onda não ligante, $$E>0$$.
a) Use a equação de Schrödinger para achar uma expressão para $$\Delta \left(\dfrac{\partial \Psi(x,t)}{\partial x} \right)$$, isto é, o salto da descontinuidade da função de onda ao atravessar essa parede.
[spoiler title=’Dica’ style=’default’ collapse_link=’true’]Integre os dois lados da equação de Schrödinger no intervalo $$[-\epsilon, \epsilon]$$, em que $$\epsilon$$ é um número arbitrariamente pequeno.[/spoiler]
b) Com isso em mãos, determine a probabilidade de que a função de onda $$\psi_{i}(x,t)=A e^{i(\omega t -k x)}$$ tunele através dessa parede infinitamente rígida e infinitamente fina.
c) Mostre que se $$V_{0}<0$$, essa probabilidade se mantém inalterada. Interprete isso fisicamente.
4) O oscilador harmônico quântico – Operadores de escada
O potencial harmônico dado por $$V(x)=\dfrac{1}{2} m \omega^2 x^2$$ é um dos mais onipresentes em toda a física. Particularmente, no mundo clássico ele dá origem às ondas, pêndulos, sistemas massa-mola e muitos outros fenômenos. Contudo, é na mecânica quântica que ele mais brilha: é dele que vem os fótons, fônons e quase toda excitação que se modela é feita com a superposição de osciladores harmônicos quânticos. Uma importantíssima propriedade do OHQ é a discretização de seus níveis de energia ser espaçada igualmente:
$$E_{n}=\hbar \omega \left( n +\dfrac{1}{2} \right)$$
Nessa questão, vamos chegar nesse resultado de duas formas diferentes.
a) Escreva o operador Hamiltoniano $$\hat{H}$$. Definindo os operadores abaixo:
$$\hat{a}_{-}=\dfrac{1}{\sqrt{2 \hbar m \omega}}(i \hat{p} + m \omega x)$$
$$\hat{a}_{+}=\dfrac{1}{\sqrt{2 \hbar m \omega}}(-i \hat{p} + m \omega x)$$
Escreva $$\hat{H}$$ em função do produto desses operadores e constantes. Lembre-se que $$\hat{p}=i \hbar \dfrac{\partial}{\partial x}$$.
Esses operadores são chamados de operadores de escada, por causa da propriedade que provaremos a seguir:
b) Prove que se $$\psi$$ é solução da equação de Schrödinger com energia $$E$$, então $$\hat{a}_{+} \psi$$ é também solução, mas com energia $$E+\hbar \omega$$.
Similarmente, se $$\psi$$ é solução da equação de Schrödinger com energia $$E$$, então $$\hat{a}_{-} \psi$$ é também solução, mas com energia $$E-\hbar \omega$$. Contudo, energias negativas são proibidas! (Por que?). Logo, deve existir um estado fundamental $$\psi_{0}$$ tal que $$\hat{a}_{-} \psi_{0} = 0$$.
c) Ache $$\psi_{0}$$ e sua energia $$E_{0}$$. Com isso, prove que $$E_{n}=\hbar \omega \left( n +\dfrac{1}{2} \right)$$, em que $$n$$ é o n-ésimo degrau da “escada”.
[spoiler title=’Dica’ style=’default’ collapse_link=’true’][Como o operador $$\hat{a}_{-}$$ sempre faz a energia cair, o estado fundamental deve ser tal que $$\hat{a}_{-} \Psi_{0} =0$$ [/spoiler]
5) A expansão súbita
Existem situações em que o potencial ao qual uma partícula está sujeita muda tão bruscamente que a partícula “não percebe”. Em termos físicos, o tempo característico da mudança é muito menor que o do movimento da partícula. Nesse caso, a função de onda da partícula antes e depois da mudança é a mesma.
Inicialmente, considere uma partícula de massa $$m$$ no estado fundamental de um poço quadrado infinito de largura $$L$$.
a) Escreva a função de onda normalizada da partícula.
Em um certo momento, esse poço expande subitamente, e sua largura vai de $$L$$ à $$2L$$. A função de onda da partícula é a mesma, mas agora ela não mais corresponde ao estado fundamental do novo poço. Mais ainda, ela agora nem sequer é um autoestado do novo poço, mas sim uma combinação linear de (possivelmente) infinitos novos autoestados.
b) Prove que a probabilidade da partícula acabar no n-ésimo estado excitado do novo poço é dada por:
$$P(1 \rightarrow n)=\displaystyle{ \int \limits_{0}^{L} \psi_{1}(x) \psi^{‘}_{n}(x) dx}$$
Em que $$ \psi^{‘}_{n}(x)$$ é o n-ésimo autoestado do novo poço. Calcule essa probabilidade para $$n=1$$ e $$n=2$$.
[spoiler title=’Dica’ style=’default’ collapse_link=’true’]Quando o poço expande de forma suficientemente rápida, a função de onda da partícula permance inalterada.[/spoiler]
c) Calcule de forma exata o trabalho feito pelo agente que promoveu a expansão do poço.
[spoiler title=’Dica’ style=’default’ collapse_link=’true’]Pode ser útil usar que $$\langle E \rangle = \displaystyle{\sum \limits_{n=1}^{\infty} |c_{n}|^2 E_{n}}$$[/spoiler]
6) Teoria das perturbações
Uma das técnicas mais poderosas da mecânica quântica é a teoria das perturbações, em que se superpõem ao Hamiltoniano inicial $$H_{0}$$ uma perturbação $$H’$$. Seja um parâmetro $$\lambda$$ uma maneira de “ligar” a perturbação, de modo que $$\lambda=0$$ é o estado original e $$\lambda=1$$ o estado perturbado:
$$H=H_{0}+\lambda H’$$
Vamos escrever a função de onda e a energia da partícula como uma expansão em potências de $$\lambda$$, com o primeiro termo sendo os originais do sistema não perturbado:
$$\psi=\psi_{0}+\lambda \psi_{1} + \lambda^2 \psi_{2} + …$$
$$E=E_{0}+\lambda E_{1} + \lambda^2 E_{2} + …$$
a) Prove que, em primeira ordem em $$\lambda$$, $$E_{1} = \langle \psi_{0} | H’ | \psi_{0} \rangle$$. Ou seja, a primeira perturbação da energia é o valor esperado da perturbação no estado original.
[spoiler title=’Dica’ style=’default’ collapse_link=’true’]Substitua as séries de potência acima na equação $$H \Psi = E \Psi$$ e colete todos os termos de ordem 1 em $$\lambda$$[/spoiler]
b) Ache a perturbação em primeira ordem do estado fundamental de um poço quadrado infinito quando se liga uma rampa $$V'(x)=\beta x$$.
c) Determine $$\psi_{1}$$. Qual é a correção na função de onda do estado fundamental do item anterior?
[spoiler title=’Dica’ style=’default’ collapse_link=’true’]Procedimento análogo ao item a.[/spoiler]
7) Ligando um campo elétrico
Uma partícula de massa $$m$$ e carga $$q$$ está no estado fundamental de uma oscilador harmônico quântico. É um fato conhecido que a função de onda do estado fundamental do OHQ é uma gaussiana: $$\psi(x) = A e^{-\alpha x^2}$$.
a) Determine $$A$$, $$\alpha$$ e a energia do estado fundamental.
[spoiler title=’Dica’ style=’default’ collapse_link=’true’]Para achar $$\alpha$$, substitua a expressão acima na equação de Schrödinger. Para achar $$A$$, normalize a função de onda.[/spoiler]
Então, liga-se um campo elétrico de módulo $$D$$ ao longo da direção $$x$$.
b) Qual o novo Hamiltoniano?
[spoiler title=’Dica’ style=’default’ collapse_link=’true’]Basta somar o potencial elétrico $$V=-qDx$$[/spoiler]
c) Use uma fatoração conveniente e ache, de forma exata, a nova energia do estado fundamental.
[spoiler title=’Dica’ style=’default’ collapse_link=’true’]O truque é completar o quadrado no Hamiltoniano. Isso vai gerar um desvio na posição de equilíbrio e um novo termo constante. Resposta: $$E’_{n} = \hbar \omega \left( n +\dfrac{1}{2} \right) – \dfrac{q^2 D^2}{m^2 \omega^{4}}$$[/spoiler]
d) Se o tempo característico dessa mudança é muito menor que $$\dfrac{1}{\omega}$$, determine a probabilidade da partícula continuar no estado fundamental após ligarmos o campo elétrico.
[spoiler title=’Dica’ style=’default’ collapse_link=’true’]Use a ideia da questão 5 dessa lista.[/spoiler]
8) Não tão livre para girar
Uma molécula de momento de inércia $$J$$ e momento de dipolo elétrico $$p$$ gira livremente em um plano, sua equação de Schrödinger sendo:
$$\dfrac{-\hbar^2}{2 J} \dfrac{d^2 \psi(\phi)}{d \phi^2} = E \psi(\phi)$$
a) Ache a função de onda e energia de cada estado $$n$$.
[spoiler title=’Dica’ style=’default’ collapse_link=’true’]A quantização das energias vem da exigência de haver invariância rotacional: $$\psi(\phi)=\psi(\phi+2\pi)$$[/spoiler]
b) Ache a correção para a energia do estado fundamental (em segunda ordem) quando se liga um campo elétrico nesse plano de módulo $$D$$. Note que a correção de primeira ordem é nula.
[spoiler title=’Dica’ style=’default’ collapse_link=’true’]Extenda o resultado do problema 6 para a perturbação campo-dipolo $$H’= pD \cos(\phi)$$ em segunda ordem. Para isso, você terá que calcular primeiro a correção para a função de onda em primeira ordem (agora não basta apenas saber a função de onda no estado não perturbado).[/spoiler]
9) Juntando as peças
a) Determine o calor específico de uma gás de osciladores harmônicos quânticos livres a uma temperatura $$T$$.
[spoiler title=’Dica’ style=’default’ collapse_link=’true’]Escreva a função de partição de um oscilador harmônico e a eleve ao número de osciladores do gás, $$N$$. Vale a pena lembrar resultados da lista de termodinâmica.[/spoiler]
Não é apenas o potencial $$V(x)$$ que pode sofrer perturbações! A energia cinética também pode ser expandida em potências de $$\dfrac{v}{c}$$ para aproximações relativísticas (cuidado, essa versão da mecânica quântica não suporta relatividade, isso é apenas uma aproximação). Agora, usando teoria da perturbação em primeira ordem na energia:
b) Determine o calor específico de uma gás de osciladores harmônicos quânticos relativísticos livres a uma temperatura $$T$$.
[spoiler title=’Dica’ style=’default’ collapse_link=’true’]Expanda o fator de Lorentz em uma série de Taylor, aborte a série no segundo termo e use teoria das perturbações para achar as novas energias. Então, proceda como no item a[/spoiler]