Problema 6.
Seja $$a_0=a>1$$, um inteiro e, para $$n\geq 0$$, defina $$a_{n+1}=2^{a_n}-1$$. Mostre que o conjunto dos divisores primos dos termos da sequência $$a_n$$ é infinito.
Solução:
Lema: $$mdc(2^a-1, 2^b-1)=2^{(mdc(a, b))}-1$$.
Prova: Seja $$d=mdc(a, b)$$, note que $$2^d-1|2^a-1$$ e $$2^d-1|2^b-1\Rightarrow 2^d-1|mdc(2^a-1, 2^b-1)$$. Se $$mdc(2^a-1, 2^b-1)=k\Rightarrow 2^a\equiv 1(mod. k)$$ e $$2^b\equiv 1(mod. k)$$, por Bézout há inteiros $$x, y$$ tais que $$ax+by=d\Rightarrow 2^{ax+by} \equiv 2^d \equiv 1 (mod. k)$$, logo $$k|2^d-1$$ e como $$2^d-1|k$$, temos $$k=2^d-1$$.
Suponha, por absurdo, que seja finito. Sejam $$p_1, p_2, p_3,…., p_k$$ tais primos e $$p_k$$ é o maior deles; seja $$a_m$$ tal que $$p_k|a_m\Rightarrow 2^{p_k}-1|2^{a_m}-1=a_{m+1}$$, seja $$q$$ um primo dividindo $$2^{p_k}-1$$, assim devemos ter $$ord_q(2)=p_k$$, e consequentemente $$p_k|\varphi{(q)}=q-1\Rightarrow q>p_k$$ e $$q|a_{m+1}$$, com isso temos um absurdo. Logo temos infinitos primos.
Observação: É possível resolver esse problema, usando teoremas mais avançados, por exemplo o Teorema de Kobayashi, mas não é recomendado usar numa prova de olimpíada.