Esrito por Wanderson Faustino Patricio
Iniciante
[spoiler title=’Assunto Abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]Análise dimensional[/spoiler]
[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Sabemos que no estudo da física não trabalhamos somente com números. Nossas variáveis possuem dimensões, e são calculadas com unidades. Por exemplo, a gravidade não é apenas $$g=9,81$$, porém, $$g=9,81m/s^2$$.
Existem 5 dimensões possíveis: distância, tempo, massa, carga e temperatura. Todas as outras coisas podem ser descritas juntando essas outras dimensões. Por exemplo, a velocidade é a divisão do espaço pelo tempo.
Representamos a dimensão de uma variável $$f$$ como $$\left[f\right]$$.
As dimensões podem ser representadas em diferentes unidades. Para essa resolução usaremos as unidades no Sistema Internacional de Unidades (SI).
Quando temos uma igualdade na física, temos:
$$f=g\rightarrow \left[f\right]=\left[g\right]$$
$$\left[fg\right]=\left[f\right]\cdot\left[g\right]$$
$$\left[f^x\right]=\left[f\right]^x$$
Os expoentes não podem ter dimensão.
Segundo o nosso enunciado:
$$P=kGc^{\beta}Q^{\gamma}\omega^{\delta}$$
Onde $$k$$ é uma constante adimensional, e portanto não será considerada para o cálculo da nossa dimensão.
$$\left[P\right]=\dfrac{\left[Energia\right]}{\left[Tempo\right]}$$
$$\left[P\right]=\dfrac{F\cdot d}{t}$$
$$\left[P\right]=\dfrac{kg\cdot \dfrac{m}{s^2}\cdot m}{s}$$
$$\left[P\right]=kg\cdot m^2\cdot s^{-3}$$
Para a segunda parte da equação:
$$I)$$
$$\left[G\right]=\dfrac{N\cdot m^2}{kg^2}$$
$$\left[G\right]=\dfrac{kg\cdot \dfrac{m}{s^2}\cdot m^2}{kg^2}$$
$$\left[G\right]=kg^{-1}m^3s^{-2}$$
$$II)$$
$$\left[c\right]=m\cdot s^{-1}$$
$$III)$$
$$\left[\omega\right]=s^{-1}$$
Já sabemos que a dimensão de $$Q$$ é $$kg\cdot m^2$$.
Juntando essas informações na igualdade original:
$$\left[P\right]=\left[Gc^{\beta}Q^{\gamma}\omega^{\delta}\right]$$
$$\left[P\right]=\left[G\right]\left[c\right]^{\beta}\left[Q\right]^{\gamma}\left[\omega\right]^{\delta}$$
$$kg\cdot m^2\cdot s^{-3}=(kg^{-1}m^3s^{-2})(m\cdot s^{-1})^{\beta}(kg\cdot m^2)^{\gamma}(s^{-1})^{\delta}$$
$$\rightarrow kg\cdot m^2\cdot s^{-3}=kg^{-1+\gamma}m^{3+\beta+2\gamma}s^{-2-\beta-\delta}$$
Chegamos ao seguinte sistema:
$$\begin{cases} -1+\gamma=1\\ 3+\beta+2\gamma=2\\ -2-\beta-\delta=-3 \end{cases}$$
Logo:
$$\gamma=2$$ , $$\beta=-5$$ e $$\delta=6$$
Portanto podemos escrever:
$$P=k\dfrac{GQ^2\omega^6}{c^5}$$
Perceba que se dobrarmos a velocidade angular a potência será 64 vezes maior.
[/spoiler][spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
$$\gamma=2$$ , $$\beta=-5$$ e $$\delta=6$$
[/spoiler]
Intermediário
[spoiler title=’Assunto Abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]Eletrodinâmica/Circuitos resistivos[/spoiler][spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
$$a)$$ Sejam $$C$$ e $$D$$ os pontos onde o resistor $$R_x$$ está conectado. Observando os pontos $$A$$, $$C$$ e $$D$$ vemos uma formação de resistores em Delta. Essa formação é complicada de se analisar porque as correntes não se dividem uniformemente. Para Analisar essa configuração vamos mudar essa configuração para uma configuração em estrela.
Suponha que possamos trocar os resistores $$R$$, $$2R$$ e $$R_x$$ por outros três resistores $$r_1$$, $$r_2$$ e $$r_3$$, segundo a representação a seguir:
Vamos calcular a resistência equivalente entre cada par de pontos. Para isso consideraremos que o outro ponto não está conectado a nada.
$$A$$ e $$C$$: $$R$$ em paralelo com $$2R$$ mais $$R_x$$
Em Delta:
$$R_{AC}=\dfrac{R(2R+R_x)}{2R+R+R_x}$$
Em Estrela:
$$R_{AC}=r_1+r_2$$
$$A$$ e $$D$$: $$2R$$ em paralelo com $$R$$ mais $$R_x$$
Em Delta:
$$R_{AD}=\dfrac{2R(R+R_x)}{2R+R+R_x}$$
Em Estrela:
$$R_{AD}=r_1+r_3$$
$$D$$ e $$C$$: $$R_x$$ em paralelo com $$2R$$ mais $$R$$
Em Delta:
$$R_{DC}=\dfrac{R_x(2R+R)}{2R+R+R_x}$$
Em Estrela:
$$R_{DC}=r_3+r_2$$
Chegamos ao seguinte sistema:
$$\begin{cases}r_1+r_2= \dfrac{R(2R+R_x)}{2R+R+R_x} \\ r_1+r_3=\dfrac{2R(R+R_x)}{2R+R+R_x} \\ r_2+r_3=\dfrac{R_x(2R+R)}{2R+R+R_x} \end{cases}$$
Resolvendo o sistema chegamos a:
$$r_1=\dfrac{2R^2}{3R+R_x}$$, $$r_2=\dfrac{RR_x}{3R+R_x}$$ e $$r_3=\dfrac{2RR_x}{3R+R_x}$$
Reorganizando o circuito chegamos a:
A resistência equivalente entre $$A$$ e $$B$$ será $$r_1$$ em série com $$r_2$$ mais $$2R$$ em paralelo com $$r_3$$ mais $$R$$.
$$R_{AB}=r_1+\dfrac{(r_2+2R)(r_3+R)}{r_2+r_3+2R+R}$$
$$R_{AB}=\dfrac{2R^2}{3R+R_x}+\dfrac{(\dfrac{RR_x}{3R+R_x}+2R)(\dfrac{2RR_x}{3R+R_x}+R)}{\dfrac{RR_x}{3R+R_x}+\dfrac{2RR_x}{3R+R_x}+2R+R}$$
$$R_{AB}=\left(\dfrac{4+3\dfrac{R_x}{R}}{3+2\dfrac{R_x}{R}}\right)R$$
$$R_{AB}=\left(\dfrac{4+3\dfrac{R_x}{100}}{3+2\dfrac{R_x}{100}}\right)100$$
$$b)$$ Como $$R_x$$ assume qualquer valor de resistência: $$R_x\in[0, \infty)$$.
Aplicando esses limites em $$R_{AB}$$:
$$\dfrac{4}{3}R\leq R_{AB}< \dfrac{3}{2}R$$
A potência de um circuito resistivo é:
$$P=\dfrac{\epsilon^2}{R_{AB}}$$
Portanto para a maior potência a resitência equivalente deve ser menor.
$$P=\dfrac{\epsilon^2}{\dfrac{4}{3}R}$$
$$\rightarrow P=108W$$
[/spoiler][spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
$$a)$$$$R_{AB}=\left(\dfrac{4+3\dfrac{R_x}{100}}{3+2\dfrac{R_x}{100}}\right)100$$
$$b) P=108W$$
[/spoiler]
Avançado
[spoiler title=’AssuntoAbordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]Eletrostática/ Dinâmica do corpo rígido[/spoiler][spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
$$a)$$ Pela lei de Gauss sabemos que: $$\displaystyle \oint \vec E\cdot d\vec A=\dfrac{q_{int}}{\epsilon_0}$$.
Para o cálculo do fluxo elétrico tomemos uma gaussiana cilíndrica ao redor do fio infinito cuja altura é $$h$$ e o raio da base é o vetor $$\vec d$$.
Pela simetria podemos ver que o campo elétrico resultante será na direção radial. Portanto:
$$E\cdot 2\pi dh=\dfrac{q_{int}}{\epsilon_0}$$
A carga iterna à gaussiana é $$q_{int}=\lambda h$$. Logo:
$$E=\dfrac{\lambda}{2\pi \epsilon_0 d}$$
$$\vec E=\dfrac{\lambda}{2\pi \epsilon_0 d}\hat d$$
$$\rightarrow \vec E=\dfrac{\lambda}{2\pi \epsilon_0 d^2}\vec d$$
$$b)$$ Percebemos que as posições em $$x$$ dos dois sistemas de coordenadas é a mesma.
$$x=x_1=a\cos{\theta}$$
As posições em $$y$$ se relacionam por $$y=y_1\cos{\alpha}$$.
$$y=a\sin{\theta}\cos{\alpha}$$
Como a distância até o aro cirular é constante e igual a $$a$$ temos:
$$x^2+y^2+z^2=a^2$$
$$z^2=a^2-a^2\cos^2{\theta}-a^2\sin^2{\theta}\cos^2{\alpha}$$
$$\rightarrow z=a\sin{\theta}\sin{\alpha}$$
$$c)$$ Utilizando os ângulos apresentados na Questão, temos que:
$$\left|d\vec r\right|=ad\theta$$
Como a carga é distribuída uniformemente no anel, um diferencial de carga no anel será:
$$dQ=\dfrac{Q}{2\pi}d\theta$$
$$d)$$ Como o fio é infinito no eixo $$z$$ vemos que o vetor $$\vec d$$ é somente em $$x$$ e $$y$$.
$$\vec d=x\hat x+y\hat y=a\cos{\theta}\hat x+a\sin{\theta}\cos{\alpha}\hat y$$
$$\rightarrow d^2=a^2(\cos^2{\theta}+\cos^2{\alpha}\sin^2{\theta})$$
A força elétrica nesse diferencial de carga será $$d\vec F=dQ\cdot \vec E$$.
$$d\vec F=\dfrac{Q}{2\pi}d\theta\cdot \dfrac{\lambda}{2\pi \epsilon_0a^2(\cos^2{\theta}+\cos^2{\alpha}\sin^2{\theta})}(a\cos{\theta}\hat x+a\sin{\theta}\cos{\alpha}\hat y)$$
$$d\vec F=\dfrac{\lambda Q}{4\pi^2\epsilon_0a}\dfrac{\cos{\theta}\hat x+\sin{\theta}\cos{\alpha}\hat y}{\cos^2{\theta}+\cos^2{\alpha}\sin^2{\theta}}d\theta$$
$$e)$$
$$\vec F=\displaystyle \int_0^{2\pi} d\vec F$$
$$\vec F=\displaystyle \int_0^{2\pi} \dfrac{\lambda Q}{4\pi^2\epsilon_0a}\dfrac{\cos{\theta}}{\cos^2{\theta}+\cos^2{\alpha}\sin^2{\theta}}d\theta \hat x+\displaystyle \int_0^{2\pi} \dfrac{\lambda Q}{4\pi^2\epsilon_0a}\dfrac{\sin{\theta}\cos{\alpha}}{\cos^2{\theta}+\cos^2{\alpha}\sin^2{\theta}}d\theta \hat y$$
As funções são antissimétricas no intervalo de 0 a $$2\pi$$, portanto, vemos que a força resultante no anel é zero.
$$\vec F=\vec 0$$
$$f)$$
$$d\vec{\tau}=\vec r \times d\vec F$$
$$d\vec{\tau}=(a\cos{\theta}\hat x +a\sin{\theta}\cos{\alpha}\hat y +a\sin{\theta}\sin{\alpha}\hat z) \times \left(\dfrac{\lambda Q}{4\pi^2\epsilon_0a}\dfrac{\cos{\theta}\hat x+\sin{\theta}\cos{\alpha}\hat y}{\cos^2{\theta}+\cos^2{\alpha}\sin^2{\theta}}d\theta\right)$$
Portanto:
$$d\vec{\tau}=\dfrac{\lambda Q \sin{\alpha}}{4\pi^2\epsilon_0}\dfrac{(-\sin^2{\theta}\cos{\alpha}\hat x +\sin{\theta}\cos{\theta}\hat y)}{\cos^2{\theta}+\cos^2{\alpha}\sin^2{\theta}} d\theta$$
$$g)$$ Perceba que a integral em $$y$$ é antissimétrica, portanto, o torque resultante em $$y$$ é zero.
$$\vec {\tau}=-\dfrac{\lambda Q \sin{\alpha}\cos{\alpha}}{4\pi^2\epsilon_0}\displaystyle \int_0^{2\pi} \dfrac{\sin^2{\theta}}{\cos^2{\theta}+\cos^2{\alpha}\sin^2{\theta}} d\theta \hat x$$
$$\rightarrow \vec{\tau}=-\dfrac{\lambda Q \sin{\alpha}\cos{\alpha}}{4\pi^2\epsilon_0}\left(\dfrac{2\pi}{\left|\cos{\alpha}\right|+\cos^2{\alpha}}\right)\hat x$$
$$h)$$
Se $$-\pi\leq \alpha <-\dfrac{\pi}{2}$$, $$\cos{\alpha}<0$$
Se $$-\dfrac{\pi}{2}\leq \alpha \leq\dfrac{\pi}{2}$$, $$\cos{\alpha}\geq 0$$
Se $$\dfrac{\pi}{2}<\alpha \leq \pi$$, $$\cos{\alpha}<0$$
Para $$\alpha=\dfrac{\pi}{2}$$ ou $$\alpha=-\dfrac{\pi}{2}$$, a função é indeterminada, mas tende aos valores máximos e mínimos da função $$\left(\pm \dfrac{\lambda Q}{2\pi \epsilon_0}\right)$$ nas proximidades desses valores.
Utilizando essas informações na equação do torque temos:
$$i)$$ O momento de inércia do anel em relação ao eixo $$z$$ é $$I_z=ma^2$$.
Pela simetria do sistema sabemos que $$I_x=I_y$$.
Pelo teorema dos eixos perpendiculares:
$$I_z=I_x+I_y=2I_x$$
$$I_x=\dfrac{ma^2}{2}$$
$$j)$$
$$\vec{\tau}=I\dfrac{d^2\vec{\alpha}}{dt^2}$$
$$-\dfrac{\lambda Q \sin{\alpha}\cos{\alpha}}{4\pi^2\epsilon_0}\left(\dfrac{2\pi}{\left|\cos{\alpha}\right|+\cos^2{\alpha}}\right)\hat x=\dfrac{ma^2}{2}\dfrac{d^2\alpha}{dt^2}\hat x$$
$$\rightarrow \ddot{\alpha}=-\dfrac{\lambda Q\sin{\alpha}\cos{\alpha}}{\pi \epsilon_0ma^2(\left|\cos{\alpha}\right|+cos^2{\alpha})}$$
$$k)$$ Para ângulos muito pequenos ($$\alpha<<1$$): $$sin{\alpha}\approx \alpha$$, $$\left|\cos{\alpha}\right|\approx 1$$ e $$cos^2{\alpha}\approx 1$$.
Portanto:
$$\ddot{\alpha}=-\left(\dfrac{\lambda Q}{2\pi \epsilon_0ma^2}\right)\alpha$$
Essa é a equação de um M.H.S. , cuja frequência angular é:
$$\omega=\sqrt{\dfrac{\lambda Q}{2\pi \epsilon_0ma^2}}$$
O período do movimento é:
$$T=\dfrac{2\pi}{\omega}$$
$$\rightarrow T=2\pi\sqrt{\dfrac{2\pi\epsilon_0ma^2}{\lambda Q}}$$
[/spoiler][spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
$$a)$$
$$ \vec E=\dfrac{\lambda}{2\pi \epsilon_0 d^2}\vec d$$
$$b)$$
$$(x, y, z)=(a\cos{\theta}, a\sin{\theta}\cos{\alpha}, a\sin{\theta}\sin{\alpha})$$
$$c)$$
$$dQ=\dfrac{Q}{2\pi}d\theta$$
$$d)$$
$$d\vec F=\dfrac{\lambda Q}{4\pi^2\epsilon_0a}\dfrac{\cos{\theta}\hat x+\sin{\theta}\cos{\alpha}\hat y}{\cos^2{\theta}+\cos^2{\alpha}\sin^2{\theta}}d\theta$$
$$e))$$
$$\vec F=\vec 0$$
$$f)$$
$$d\vec{\tau}=\dfrac{\lambda Q \sin{\alpha}}{4\pi^2\epsilon_0}\dfrac{(-\sin^2{\theta}\cos{\alpha}\hat x +\sin{\theta}\cos{\theta}\hat y)}{\cos^2{\theta}+\cos^2{\alpha}\sin^2{\theta}} d\theta$$
$$g)$$
$$\rightarrow \vec{\tau}=-\dfrac{\lambda Q \sin{\alpha}\cos{\alpha}}{4\pi^2\epsilon_0}\left(\dfrac{2\pi}{\left|\cos{\alpha}\right|+\cos^2{\alpha}}\right)\hat x$$
$$h)$$
$$i)$$
$$I_x=\dfrac{ma^2}{2}$$
$$j)$$
$$\ddot{\alpha}=-\dfrac{\lambda Q\sin{\alpha}\cos{\alpha}}{\pi \epsilon_0ma^2(\left|\cos{\alpha}\right|+cos^2{\alpha})}$$
$$k)$$
$$T=2\pi\sqrt{\dfrac{2\pi\epsilon_0ma^2}{\lambda Q}}$$
[/spoiler]