PROBLEMA 3
Seja $$ABC$$ um triângulo acutângulo de circuncentro $$O$$ e ortocentro $$H$$. A circunferência de centro $$X_A$$ passa pelos pontos $$A$$ e $$H$$ e tangencia o circuncírculo do triângulo $$ABC$$. Defina de maneira análoga os pontos $$X_B$$ e $$X_C$$. Sejam $$O_A, O_B$$ e $$O_C$$ os simétricos de $$O$$ em relação aos lados $$BC, CA$$ e $$AB$$, respectivamente. Prove que as retas $$O_AX_A, O_BX_B$$ e $$O_CX_C$$ são concorrentes.
SOLUÇÃO.
Defina $$D=AO\cap AB, E=BO\cap CA, F=CO\cap AB$$ e $$R=AO=BO=CO$$. É conhecido que, $$OM=\frac{AH}{2}$$, no qual $$M$$ é o ponto médio de $$CB$$, assim temos que $$OO_A=AH$$(pela reflexão), e como $$AH\perp BC$$ e $$OO_A\perp BC$$(reflexão), temos $$AH \| OO_A$$, logo temos que o quadrilátero $$AOO_AH$$ é um paralelogramo e portanto $$HO_A=AO=R$$, analogamente obtemos $$HO_B=HO_C=R$$.
Note que $$O_A$$ é circuncentro do triângulo $$BHC$$, pois $$O_AB=OA=OC=O_AC$$ e $$\angle BO_AC=\angle BOC=2\angle BAC=2(180- \angle BHC)$$, analogamente temos que $$O_B$$ e $$O_C$$ são circuncentros de $$AHC$$ e $$HAB$$ respectivamente. Agora, observe que $$O_BH=O_BA=OA=R=O_CA=O_CH$$, assim obtemos que $$O_BO_C$$ é mediatriz de $$AH$$ e consequentemente $$O_B, O_C, X_A$$ são colineares. Analogamente, conseguimos que $$X_B, O_C, O_A$$ e $$X_C, O_B, O_A$$ são colineares.
Por Homotetia temos que $$A, X_A, O$$ são colineares e portanto $$A, X_A, O, D$$ são colineares; analogamente $$B, X_B, O, E$$ e $$C, X_C, O, F$$ são colineares. Como dito anteriormente, $$OA=OC=O_BC=O_BA=O_CA=O_CB=R$$, logo os quadriláteros $$OAO_BC$$ e $$OAO_CB$$ são losangos e assim temos que $$O_BC=O_CB$$ e $$O_BC\|AO\|O_CB$$, logo o quadrilátero $$BO_CO_BC$$ é um paralelogramo, e consequentemente os quadriláteros $$DX_AO_BC$$ e $$DBO_CX_A$$ são paralelogramos $$\Rightarrow O_BX_A=DC; BD=O_CX_A$$ e analogamente, $$O_BX_C=FA; O_AX_C=FB; O_AX_B=CE; O_CX_B=EA$$ (I)
Por Ceva no triângulo $$ABC$$, temos $$\frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}\cdot \frac{FA}{FB}=1$$, substituindo em (I), temos $$\frac{O_CX_A}{O_BX_A}\cdot \frac{O_AX_B}{O_CX_B}\cdot \frac{O_BX_C}{O_AX_C}=1$$ e pela Recíproca do Teorema de Ceva no triângulo $$O_AO_BO_C$$, temos que as retas $$O_AX_A, O_BX_B, O_CX_C$$ são concorrentes.