PROBLEMA 3
Seja $$ABC$$ um triângulo e $$n$$ um inteiro positivo. Sobre o lado $$BC$$ considere os pontos $$A_1, A_2, …, A_{2^n-1}$$ e dividem o lado em $$2^n$$ partes iguais, ou seja, $$BA_1=A_1A_2=…=A_{2^n-2}A_{2^n-1}=A_{2^n-1}C$$. Defina os pontos $$B_1, B_2,…, B_{2^n-1}$$ e $$C_1, C_2,…, C_{2^n-1}$$ sobre os lados $$CA$$ e $$AB$$, respectivamente, de maneira análoga. Trace os segmentos $$AA_1, AA_2,…, AA_{2^n-1}, BB_1, BB_2,…, BB_{2^n-1}$$ e $$CC_1, CC_2,…, CC_{2^n-1}$$. Determine, em função de $$n$$, em quantas regiões foi dividida a região delimitada pelo triângulo $$ABC$$ por esses segmentos.
SOLUÇÃO.
Primeiramente começaremos com um lema:
Lema 1: Há exatamente $$3 \cdot 2^n-5$$ pontos nos quais três cevianas concorrem e além disso, se três cevianas concorrem, ao menos uma delas é uma mediana.
Prova: Suponha que três cevianas $$AA_i,BB_j$$ e $$CC_k$$ concorrem e nenhuma delas é mediana. Suponha que os pontos $$A_i, B_j, C_k$$ dividem seus respectivos lados nas razões $$\frac{a_1}{a_2}, \frac{b_1}{b_2}, \frac{c_1}{c_2}$$; todas elas em suas formas irredutíveis. Note que $$a_1+a_2; b_1+b_2; c_1+c_2$$ são potências de $$2$$ e todos os números $$a_1, a_2,…, c_1, c_2,$$ são impares(note que $$a_1=a_2$$ não é possível, visto que $$AA_i$$ não é mediana) e por Ceva $$\frac{a_1}{a_2}\times \frac{b_1}{b_2}\times \frac{c_1}{c_2}=1$$. Além disso, como $$a_1\neq a_2\Rightarrow a_1+a_2\geq 4$$.
Observe que como $$a_1+a_2$$ é potência de $$2$$ e são impares, então $$a_1\equiv -a_2(mod. 4)\Rightarrow \frac{a_1}{a_2} \equiv -1(mod. 4)$$; analogamente para $$(b_1, b_2)$$ e $$(c_1, c_2)$$; obtemos que $$1=\frac{a_1}{a_2}\times \frac{b_1}{b_2}\times \frac{c_1}{c_2}\equiv (-1)^3\equiv -1(mod.4)$$. Absurdo!
Cada mediana é cortada por $$2^n-1$$ pontos por outra ceviana(partindo de um vértice) e pelo Teorema de Ceva, existe exatamente uma outra ceviana(partindo do vértice oposto) que intersecta um desses ponto, logo temos $$3(2^n-1)-2=3\cdot 2^n-5$$ pontos de concorrência(O baricentro é contado $$3$$ vezes).
Voltando ao problema, esqueça temporariamente as cevianas que partem de $$A$$ e desenhe as cevianas que partem de $$B$$ e $$C$$. Agora desenhe a ceviana $$AA_1$$, note que ela irá intersectar todas as cevianas que partem de $$B$$ e de $$C$$, e pelo Lema só haverá $$2$$ pontos no qual temos tripla concorrência (mediana dos vértices de $$B$$ e $$C$$), assim temos no total $$2(2^n-1)+2-2=2^{n+1}-2$$, pontos na ceviana $$AA_1$$(contando os extremos), note que cada par de pontos consecutivos divide uma região gerada em duas(veja as Figuras); e inicialmente, sem as cevianas de $$A$$, temos $$2^{2n}$$ regiões geradas. Assim a quantidade de regiões geradas pela ceviana é $$2^{n+1}-2-1=2^{n+1}-3$$(quantidade que pares consecutivos). Repetindo tal procedimento para todas as cevianas, exceto a mediana de $$A$$; obtemos $$(2^{n+1}-3)(2^n-2)$$ novas regiões. A mediana de $$A$$ possui $$(2^n-1)+2$$ pontos e assim gera $$2^n$$ novas regiões. Por fim, o total de regiões é:
$$2^{2n}+(2^{n+1}-3)(2^n-2)+2^n=3\cdot 4^n-6\cdot 2^n+6$$ e testando para os valores $$n=1, 2, 3$$; concluímos que tal formula está correta.
Resposta: $$3\cdot 4^n-6\cdot 2^n+6$$
Caso n=3 Figura 1: Sem os pontos (E, F).
Figura 2: Com os pontos consecutivos
(E, F).