Problema 4
Prove que para todo inteiro positivo $$m$$, existe um inteiro positivo $$n_m$$ tal que para todo inteiro positivo $$n\geq n_m$$, existem inteiros positivos (não necessariamente distintos) $$a_1, a_2, . . . , a_n$$ tais que
$$\frac{1}{a^m_1}+\frac{1}{a^m_2}+. . .+\frac{1}{a^m_n}=1$$.
Solução de Caio Hermano:
Se existem $$a_1,a_2,…,a_t\in \mathbb{Z}^*_+$$ tais que $$\frac{1}{a^m_1}+\frac{1}{a^m_2}+. . .+\frac{1}{a^m_t}=1$$, dizemos que $$t$$ é $$m$$-intelectual. Queremos provar que $$\exists n_m\in \mathbb{Z}^*_+$$ tal que todo inteiro positivo $$n\geq n_m$$ é $$m$$-intelectual.
Observe que $$\frac{1}{a^m_i}=\frac{A^m}{A^ma^m_i}=\frac{1}{(Aa_i)^m}+(A^m-1) \cdot \frac{1}{(Aa_i)^m}$$. Assim, conseguimos acrescentar $$(A^m-1)$$ termos na soma para todo $$A\in \mathbb{Z}^*_+$$, isto é, se $$t$$ é $$m$$-intelectual $$\Rightarrow t+(A^m-1)$$ também é $$m$$-intelectual. Iterando esse processo $$x$$ vezes, então $$t+x(A^m-1)$$ é $$m$$-intelectual. Ainda, podemos realizar a operação anterior $$y$$ vezes com outro inteiro positivo $$B$$, concluindo que o número $$t+x(A^m-1)+y(B^m-1)$$ é, também, $$m$$-intelectual.
Lema: Sejam $$a,b\in \mathbb{Z}^*_+$$ primos entre si, isto é, tais que $$mdc(a,b)=1$$. Existe um inteiro positivo $$N$$ tal que todos os inteiros positivos $$n\geq N$$ podem ser representados da forma $$n=ax+by, x,y\in \mathbb{Z}^*_+$$.
Pelo Teorema de Bezout, existem $$x_0,y_0\in \mathbb{Z}$$ tais que $$ax_0+by_0=mdc(a,b)=1 \Rightarrow$$ $$a(nx_0) + b(ny_0) = n$$. Seja que $$(x,y)\in \mathbb{Z}^2$$ uma solução qualquer da equação $$ax+by=n$$ diferente do par $$(nx_0,ny_0)=(c,d)$$ por conveniência, daí: $$ax+by=ac+bd\Rightarrow$$ $$a(x-c)=b(d-y)\Rightarrow$$ $$\frac{a}{b}= \frac{d-y}{x-c}\Rightarrow$$ $$\exists k\in \mathbb{Z} | d-y=ka$$ e $$x-c=kb \Rightarrow$$ $$(x,y)=(c+kb,d-ka)$$. Verificamos facilmente que todos os pares dessa forma são, de fato, soluções da equação $$ax+by=n$$ ($$a(c+kb)+b(d-ka)=ac+bd=n$$).
Considere $$n\geq 2ab$$ um inteiro, vimos que há infinitas soluções $$(x,y)=(c+kb,d-ka)$$ da equação $$ax+by=n$$. Suponha por absurdo que sempre teremos $$x$$ ou $$y$$ não positivos, daí: $$c+kb\leq 0 \iff k\leq -\frac{c}{b}$$ ou $$d-ka\leq 0 \iff k\geq \frac{d}{a}$$. Então, temos que: $$\frac{d}{a}-(-\frac{c}{b})<2$$, pois senão haveria um inteiro $$k | \frac{d}{a}>k>-\frac{c}{b} \Rightarrow n=ac+bd<2ab$$. Logo, haverá uma solução com entradas inteiras e positivas para a equação $$ax+by=n$$ para todo $$n\geq N=2ab$$.
Veja que $$\frac{1}{1^m}=1 \Rightarrow 1$$ é $$m$$-intelectual. Daí, todos os números da forma $$1+x(A^m-1)+y(B^m-1)$$ também são $$m$$-intelectuais. Tomando $$n_m=N-1$$, pelo Lema, todos os inteiros positivos $$n\geq N=n_m+1$$ pode ser representado da forma $$1+x(A^m-1)+y(B^m-1)$$. Portanto, existe um inteiro positivo $$n_m$$ tal que para todo inteiro positivo $$n\geq n_m$$ é $$m$$-intelectual.
Observação: A cota de $$N$$ no lema acima não é optimal. Para saber mais, considere ler o Exemplo 12 deste material do POTI sobre MMC, MDC e Algortimo de Euclides. Temos no artigo a melhor cota atingível que é $$N=(a-1)(b-1)$$.