PROBLEMA 1.
Um número de $$8$$ dígitos é dito robusto se cumprir ambas condições a seguir:
(i) Nenhum dos seus algarismos é $$0$$.
(ii) A diferença entre dois algarismos consecutivos é $$4$$ ou $$5$$.
Responda às perguntas a seguir:
(a) Quantos são os números robustos?
(b) Um número robusto é dito super-robusto se todos os seus algarismos são distintos. Calcule a soma de todos
os números super-robustos.
SOLUÇÃO.
(a) Afirmamos que há $$1152$$ números robustos.
Acrescentaremos algarismos até formarmos um número robusto.
Basta notarmos que podemos escolher livremente o primeiro algarismo e, do segundo em diante, temos $$2$$ opções a cada algarismo (se o $$5$$ é o dígito anterior, podemos optar por $$1$$ ou $$9$$ e, para os demais, basta escolhermos se a diferença é $$4$$ ou $$5$$).
Segue que há $$9(2^7)=1152$$ números robustos, como desejado.
(b) Afirmamos que a soma desejada é $$999999990$$.
Demonstração $$1$$.
Notemos primeiramente que há apenas $$2$$ opções de vizinhos para cada algarismo, como vimos em (a), então podemos colocá-los como vértices em um polígono de $$9$$ lados, de modo que sejam vizinhos aos dígitos possíveis num número super-robusto.
Então, para formarmos um número super-robusto, basta escolhermos um vértice para ser o primeiro algarismo e um sentido (hórário ou anti-horário), já que um número super-robusto é unicamente determinado pelos primeiro e segundo algarismo, devido ao fato de que há apenas $$2$$ opções de vizinho para cada dígito.
Assim, entre todos os números super-robustos, cada algarismo aparece em cada casa exatamente $$2$$ vezes: para o algarismo $$A$$ estar numa casa $$x$$ ($$2\leq x \leq 8$$), devemos ter um algarismo $$B$$ com $$x-2$$ vértices entre $$A$$ e $$B$$ em um dos dois sentidos. Isso ocorre $$2$$ vezes. Para o caso $$x=1$$, é fácil ver que isso só acontece $$2$$ vezes: basta escolhermos o algarismo e um dos $$2$$ sentidos, horário ou anti-horário, e temos um único número super-robusto para cada.
Dessa forma, a soma desejada é dada por:
$$2(10^7+10^6+10^5+10^4+10^3+10^2+10^1+10^0)(1+2+3+4+5+6+7+8+9)=999999990$$,
como desejado. $$\blacksquare$$
Demonstração $$2$$.
Notemos que podemos escolher qualquer algarismo como o primeiro e, como há apenas $$2$$ opções de vizinhos para cada algarismo (como vimos em (a)), podemos escolher o segundo algarismo entre $$2$$ opções e os demais dígitos estão unicamente determinados (pois os $$8$$ dígitos são distintos): há $$2(9)=18$$ números super-robustos.
Como há poucos números super-robustos, podemos listá-los:
- $$15948372$$;
- $$16273849$$;
- $$26159483$$;
- $$27384951$$;
- $$37261594$$;
- $$38495162$$;
- $$48372615$$;
- $$49516273$$;
- $$51627384$$;
- $$59483726$$;
- $$62738495$$;
- $$61594837$$;
- $$73849516$$;
- $$72615948$$;
- $$84951627$$;
- $$83726159$$;
- $$94837261$$;
- $$95162738$$.
Notemos que, entre todos os números super-robustos, cada algarismo aparece $$2$$ vezes em cada casa. Então, a soma desejada é dada por:
$$2(10^7+10^6+10^5+10^4+10^3+10^2+10^1+10^0)(1+2+3+4+5+6+7+8+9)=999999990$$,
como desejado. $$\blacksquare$$