Escrito por Wanderson Faustino Patricio
Iniciante
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]Ondulatória/ Efeito Doppler[/spoiler][spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Sabemos que como o emissor de som está em queda livre, ele começará a ganhar velocidade. Como a gravidade é constante, temos que:
$$v_E=v_0+gt$$
Como no início o emissor estava parado:
$$v_0=0$$
$$\rightarrow v_E=gt$$
Da equação do efeito Doppler sabemos que a frequência percebida pelo observador (o qual se move com velocidade $$v_o$$) será:
$$f=f_0\dfrac{V_s-v_o}{V_s-v_E}$$
Como o observador está parado ($$v_o=0$$):
$$f=f_0\dfrac{V_s}{V_s-v_E}=f_0\dfrac{V_s}{V_s-gt}$$
$$\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{f_0}\cdot \dfrac{V_s-gt}{V_s}$$
$$\rightarrow \dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{f_0}-\dfrac{g}{f_0\cdot V_s}t$$
Se plotarmos o gráfico $$\dfrac{1}{f}$$x$$t$$ o coeficiente angular será $$-\dfrac{g}{f_0\cdot V_s}$$. Portanto:
$$-\dfrac{g}{f_0\cdot V_s}=-3,00\cdot 10^{-5}$$
$$\dfrac{10}{f_0\cdot 340}=3,00\cdot 10^{-5}$$
$$\rightarrow f_0=980,39Hz$$
[/spoiler][spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
$$f_0=980,39Hz$$
[/spoiler]
Intermediário
[spoiler title=’Assunto Abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]Empuxo hidrostático/ Oscilações mecânicas[/spoiler][spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Analisemos a posição de equilíbrio desse sistema. Suponha que na posição de equilíbrio a parte do cilindro no líquido de cima tenha altura $$h$$.
A força resultante no cilindro é zero:
$$\rho_BShg+\rho_AS(H-h)g-mg=0$$
$$\rho_Bh+\rho_AH-\rho_Ah=\dfrac{m}{S}$$
$$h=\dfrac{\dfrac{m}{S}-\rho_AH}{\rho_B-\rho_A}=0,05m=5cm$$
Tiremos o cilindro de sua posição de equilíbrio, impulsionando uma distância $$x$$ para cima.
$$F_r=\rho_BS(h+x)g+\rho_AS(H-h-x)-mg=m\ddot x$$
$$m\ddot x=-(\rho_A-\rho_B)Sgx+(\rho_BShg+\rho_AS(H-h)g-mg)$$
Como visto anteriormente a segunda parcela se anula. Portanto:
$$m\ddot x=-(\rho_A-\rho_B)Sgx$$
$$\ddot x=-\left[\dfrac{(\rho_A-\rho_B)Sg}{m}\right]x$$
Essa é a equação de um M.H.S. Portanto, o período do movimento é:
$$T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{(\rho_A-\rho_B)Sg}}$$
$$T\approx 0,99s$$
[/spoiler][spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
$$T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{(\rho_A-\rho_B)Sg}}$$
[/spoiler]
Avançado
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]Átomo de Bohr/ Radiação de Larmor[/spoiler][spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) Como a única força atuando no elétron é a força elétrica, basta aplicarmos a lei de Coulomb:
$$\vec F=\dfrac{e(-e)}{4\pi \epsilon_0 r^2}\hat r$$
$$\vec F=-\dfrac{e^2}{4\pi \epsilon_0 r^2}\hat r$$
b) Como a força está na direção radial, ela deve ser igual a resultante centrípeta.
$$\vec F=\vec F_{cp}$$
$$-\dfrac{e^2}{4\pi \epsilon_0 r^2}\hat r=-\dfrac{m_ev^2}{r}\hat r$$
$$v=\sqrt{\dfrac{e^2}{4\pi \epsilon_0 m_e r}}$$
c) A energia resultante será a soma da energia cinética com a energia potencial eletrostática:
$$E=-\dfrac{e^2}{4\pi \epsilon_0 r}+\dfrac{m_ev^2}{2}$$
$$E=-\dfrac{e^2}{4\pi \epsilon_0 r}+\dfrac{m_e}{2}\dfrac{e^2}{4\pi \epsilon_0 m_e r}$$
$$E=-\dfrac{1}{2}\dfrac{e^2}{4\pi \epsilon_0 r}$$
d) Pela regra da cadeia temos que:
$$\dfrac{dE}{dt}=\dfrac{dE}{dr}\dfrac{dr}{dt}$$
Olhando para a equação do item c):
$$\dfrac{dE}{dr}=\dfrac{1}{2}\dfrac{e^2}{4\pi \epsilon_0 r^2}$$
Pela $$2^a$$ lei de Newton:
$$F=m_ea \rightarrow -\dfrac{e^2}{4\pi \epsilon_0 r^2}=m_ea$$
$$a=-\dfrac{e^2}{4\pi \epsilon_0m_er^2}$$
Aplicando a equação de Larmor:
$$\dfrac{dE}{dr}\dfrac{dr}{dt}=-\dfrac{e^2a^2}{6\pi \epsilon_0c^3}$$
$$\dfrac{1}{2}\dfrac{e^2}{4\pi \epsilon_0 r^2}\dfrac{dr}{dt}=-\dfrac{e^2}{6\pi \epsilon_0c^3}\left(-\dfrac{e^2}{4\pi \epsilon_0m_er^2}\right)^2$$
$$r^2dr=-\dfrac{e^4}{12\pi^2\epsilon_0^2m_e^2c^3}dt$$
Seja $$\tau=\dfrac{12\pi^2\epsilon_0^2m_e^2c^3}{e^4}$$:
$$\displaystyle \int_{r_0}^r r^2dr=-\dfrac{1}{\tau} \displaystyle \int_0^t dt$$
Logo:
$$r^3=r_0^3-\dfrac{3}{\tau}t$$
Para $$r=0$$:
$$t=\dfrac{\tau r_0^3}{3}$$
$$t=\dfrac{36\pi^2\epsilon_0^2m_e^2c^3r_0^3}{e^4}$$
A distância média para o primeiro estado do átomo de hidrogênio é da ordem de $$1$$ ângstron ($$10^{-10}m$$).
Aplicando esse valor na equação anterior chegamos a uma aproximação de:
$$t\approx 9,5\cdot 10^{-10}s$$
Com esse resultado, podemos perceber que pela análise clássica, a existência do átomo é impossível.
e) Utilizaremos o momento angular para calcular as velocidades.
Como não há forças tengenciais, o momento angular é constante.
$$L=mvr=cte$$
Portanto:
$$\displaystyle \oint Ld\theta=nh$$
$$m_evr\cdot 2\pi=nh$$
$$\rightarrow v=\dfrac{nh}{2\pi m_e r}$$
f) Utilizando o resultado do item b):
$$v=\sqrt{\dfrac{e^2}{4\pi \epsilon_0 m_e r}}$$
Logo:
$$\sqrt{\dfrac{e^2}{4\pi \epsilon_0 m_e r}}=\dfrac{nh}{2\pi m_e r}$$
Portanto:
$$r_n=\dfrac{\epsilon_0h^2}{\pi m_ee^2}n^2$$
Utilizando o resultado do item c):
$$E_n=-\dfrac{1}{2}\dfrac{e^2}{4\pi \epsilon_0 r_n}$$
$$E_n=-\dfrac{1}{2}\dfrac{e^2}{4\pi \epsilon_0}\cdot \dfrac{\pi m_e e^2}{\epsilon_0 h^2 n^2}$$
$$\rightarrow E_n=-\dfrac{m_ee^2}{8\epsilon_0^2h^2}\dfrac{1}{n^2}$$
Calculando os valores temos que:
$$E_n=-\dfrac{13,6eV}{n^2}$$
g) A diferença entre as energias dos dois estados é:
$$\Delta E=E_{n_2}-E_{n_1}=-\dfrac{m_ee^2}{8\epsilon_0^2h^2}\dfrac{1}{n_2^2}-\left(-\dfrac{m_ee^2}{8\epsilon_0^2h^2}\dfrac{1}{n_1^2}\right)$$
$$\Delta E=\dfrac{m_ee^2}{8\epsilon_0^2h^2}\left(\dfrac{1}{n_1^2}-\dfrac{1}{n_2^2}\right)$$
Essa diferença de energia é liberada na forma de luz. A energia do fóton é:
$$E=hf=\dfrac{hc}{\lambda}$$
Portanto:
$$\dfrac{hc}{\lambda}=\dfrac{m_ee^2}{8\epsilon_0^2h^2}\left(\dfrac{1}{n_1^2}-\dfrac{1}{n_2^2}\right)$$
$$\rightarrow \dfrac{1}{\lambda}=\dfrac{m_ee^2}{8\epsilon_0^2h^3c}\left(\dfrac{1}{n_1^2}-\dfrac{1}{n_2^2}\right)$$
Colocando os valores:
$$\dfrac{1}{\lambda}=1,097\cdot 10^7\left(\dfrac{1}{n_1^2}-\dfrac{1}{n_2^2}\right)m^{-1}$$
[/spoiler][spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) $$\vec F=-\dfrac{e^2}{4\pi \epsilon_0 r^2}\hat r$$
b) $$v=\sqrt{\dfrac{e^2}{4\pi \epsilon_0 m_e r}}$$
c) $$E=-\dfrac{1}{2}\dfrac{e^2}{4\pi \epsilon_0 r}$$
d) $$t=\dfrac{36\pi^2\epsilon_0^2m_e^2c^3r_0^3}{e^4}$$
e) $$ v=\dfrac{nh}{2\pi m_e r}$$
f) $$ E_n=-\dfrac{m_ee^2}{8\epsilon_0^2h^2}\dfrac{1}{n^2}$$
g) $$ \dfrac{1}{\lambda}=\dfrac{m_ee^2}{8\epsilon_0^2h^3c}\left(\dfrac{1}{n_1^2}-\dfrac{1}{n_2^2}\right)$$
[/spoiler]