Problema 6:
Seja $$ABC$$ um triângulo escaleno e $$AD$$, $$BE$$ e $$CF$$ as bissetrizes internas, com $$D$$ sobre $$BC$$, $$E$$ sobre $$AC$$ e $$F$$ sobre $$AB$$. É dado que $$\angle AFE$$ = $$\angle ADC$$. Calcule a medida do ângulo $$\angle BCA$$.
Solução de João Linhares:
Seja $$P=AD\cap EF$$ e $$Q=BC\cap EF$$
Fazendo Ceva em $$\triangle ABC$$ e Menelaus em $$\triangle ABC$$ cortado por $$FEQ$$ temos:
\[\frac{AF}{FB}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}=1\]
\[\frac{AF}{FB}\cdot\frac{BQ}{QC}\cdot\frac{CE}{EA}=1\]
Logo:\[\frac{BQ}{QC}=\frac{BD}{DC}\]
Mas como $$D$$ é pé da bissetriz, temoso teorema da bissetriz interna:
\[\frac{BA}{AC}=\frac{BD}{DC}\iff \frac{BQ}{QC}=\frac{BA}{AC}\]
Logo, $$AQ$$ é bissetriz externa de $$\angle BAC$$ e com isso temos que $$\angle DAQ=90$$°
$$\angle AFQ=\angle ADQ\iff AFDQ$$ é cíclico $$(i)\iff \angle FAD=\angle FQD$$
$$\angle PAC=\angle FAD=\angle FQD\iff APCQ$$ é cíclico($$ii$$)
($$i$$)$$\to \angle DFQ=90$$° e ($$ii$$)$$\to \angle DCP=90$$°
Logo $$FDCP$$ é cíclico$$\iff \angle FPD=\angle DCA\cdot\frac{1}{2}$$
$$\angle AFP=\angle ADC$$ e $$\angle FAP=\angle DAC\to \angle FPA=\angle DCA\iff \angle FPD=180$$°$$-\angle DCA$$
Portanto, $$180$$°$$ – \angle DCA=\angle DCA\cdot\frac{1}{2}\iff\angle DCA=120$$°