Escrito por Wanderson Faustino Patricio
Iniciante
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]Cinemática/ Aceleração centrípeta[/spoiler] [spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Como o avião está tendo o módulo de sua velocidade alterada, ele está sendo submetido a uma aceleração tangencial.
A aceleração tangencial é definida como:
$$a_t=\dfrac{\Delta v}{\Delta t}$$
Como a velocidade não varia linearmente, não podemos escolher nosso intervalo de tempo grande demais. Para a análise, cosideraremos uma variação de tempo minúscula (infinitesimal), de maneira que possamos considerar que se comporta linearmente nesse minúsculo intervalo de tempo.
Vamos alterar um pouco nossa expressão para a aceleração: Multiplicaremos em cima e em baixo por $$\Delta S$$ (o espaço percorrido nesse tempo).
$$a_t=\dfrac{\Delta v}{\Delta S} \dfrac{\Delta S}{\Delta t}$$
Porém a definição para a velocidade é:
$$v= \dfrac{\Delta S}{\Delta t}$$
Logo:
$$a_t=v\cdot \dfrac{\Delta v}{\Delta S}$$
O espaço percorrido está na circunferência. Logo:
$$\Delta S=R\cdot \Delta \theta$$
$$a_t=\dfrac{v}{R}\cdot \dfrac{\Delta v}{\Delta \theta}$$
Olhemos agora para a nossa relação original:
$$v^2=v_0^2-2a_0h$$
Figura 1
Vemos que:
$$h=R(1-\cos{\theta})$$
$$v^2=v_0^2-2a_0R(1-cos{\theta})$$
Olhemos a variação de velocidade para uma posição angular $$\theta$$ e uma posição logo após, $$\theta +\Delta \theta$$ ($$\Delta \theta \rightarrow 0$$). A velocidade em $$\theta$$ é $$v$$, e em $$\theta +\Delta \theta$$ é $$v +\Delta v$$.
$$\begin{cases} v^2=v_0^2-2a_0R+2a_0R\cos{\theta} \\ (v+\Delta v)^2=v_0^2-2a_0R+2a_0R\cos{(\theta+\Delta \theta)} \end {cases}$$
Primeiramente, da trigonometria, sabemos que:
$$\cos{(a+b)}=\cos{a}\cos{b}-\sin{a}\sin{b}$$
$$\cos{(\theta+\Delta \theta)}=\cos{\theta}\cos{\Delta \theta}-\sin{\theta}\sin{\Delta \theta}$$
Como $$\Delta \theta$$ é muito pequeno:
$$\cos{(\Delta \theta)} \approx 1$$ e $$\sin{(\Delta \theta)}\approx \Delta \theta$$
Portanto:
$$\begin{cases} v^2=v_0^2-2a_0R+2a_0R\cos{\theta} \\ v^2+2v\Delta v+ (\Delta v)^2=v_0^2-2a_0R+2a_0R(\cos{\theta}\cdot 1-\sin{\theta}\cdot \Delta \theta) \end {cases}$$
Subtraindo as duas equações:
$$2v\Delta v+ (\Delta v)^2=-2a_0R\cdot \sin{\theta}\cdot \Delta \theta$$
Como $$\Delta v$$ é muito pequeno em relação à $$v$$, podemos desconsiderar o termo $$(\Delta v)^2$$.
$$a_t=\dfrac{v}{R}\cdot \dfrac{\Delta v}{\Delta \theta}=-a_0\sin{\theta}$$
Olhando a equação original vemos que para $$h=0$$, a velocidade é $$v_0$$.
Figura 2
No ponto de maior altura, ela é $$h=2R$$
$$\left(\dfrac{v_0}{2}\right)^2=v_0^2-2a_0(2R)$$
$$\rightarrow R=\dfrac{3v_0^2}{16a_0}$$
Quando a velocidade é totalmente vertical e para cima, a altura é $$h=R$$.
$$v^2=v_0^2-2a_0R$$
$$v^2=v_0^2-2a_0\cdot \dfrac{3v_0^2}{16a_0}$$
$$v^2=\dfrac{5v_0^2}{8}$$
Sabemos que a aceleração centrípeta é:
$$a_{cp}=\dfrac{v^2}{R}$$
$$a_{cp}=\dfrac{5v_0^2}{8}\cdot \dfrac{16a_0}{3a_0}$$
$$\rightarrow a_{cp}=\dfrac{10a_0}{3}$$
Nesse momento a posição angular é $$\theta=\dfrac{\pi}{2}$$. Portanto:
$$a_t=-a_0$$
A aceleração total do avião é:
$$a=\sqrt{a_{cp}^2+a_t^2}$$
$$a=\sqrt{\left(\dfrac{10a_0}{3}\right)^2+(-a_0)^2}$$
$$\rightarrow a=\dfrac{\sqrt{109}}{3}a_0$$
[/spoiler] [spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
$$\rightarrow a=\dfrac{\sqrt{109}}{3}a_0$$
[/spoiler]
Intermediário
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]Conservação de Energia e Momento/ Resultante Centrípeta[/spoiler] [spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) Como a massa $$m$$ começa a se mover, a semiesfera também precisa se mover para o lado oposto para conservar o momento linear. Porém, como a semiesfera está em contato com o solo, ela não poderá se movimentar na vertical.
Figura 3
A massa $$m$$ possui velocidade $$v_x$$ na horizontal e $$v_y$$ na vertical, e a massa $$M$$ tem velocidade $$V$$ na horizontal.
Conservando o momento linear na horizontal:
$$MV=mv_x$$
$$V=\dfrac{m}{M}v_x$$
$$V=kv_x$$
Antes de analisarmos a energia mecânica precisamos fazer uma troca de referencial. Você pode estar se perguntando o porquê. A resposta está no raio de curvatura.
“Ah, mas o raio de curvatura é $$R$$!”.
O raio de curvatura é $$R$$ no referncial da semiesfera, mas não sabemos qual é o raio de curvatura no referencial da terra. Precisamos, portanto, ir para o referencial da semiesfera.
A massa $$M$$ vê a massa $$m$$ se movendo com $$v_x+V$$ na horizontal, $$v_y$$ na vertical, e velocidade resultante $$v$$.
Figura 4
I)
$$\cos{\theta}=\dfrac{v_x+V}{v}=\dfrac{v_x+kv_x}{v} \rightarrow v_x=\dfrac{v\cdot \cos{\theta}}{1+k}$$
II)
$$\sin{\theta}=\dfrac{v_y}{v} \rightarrow v_y=v\cdot \sin{\theta}$$
III)
$$V=kv_x \rightarrow V=\dfrac{kv\cdot \cos{\theta}}{1+k}$$
Conservando a energia mecânica:
$$\displaystyle \sum K=\Delta U$$
$$\dfrac{MV^2}{2}+\dfrac{m(v_x^2+v_y^2)}{2}=mgR(1-\cos{\theta})$$
$$\dfrac{m}{2k}\cdot \left(\dfrac{kv\cdot \cos{\theta}}{1+k}\right)^2+\dfrac{m}{2}\left( \left(\dfrac{v\cdot \cos{\theta}}{1+k}\right)^2+\left(v\cdot \sin{\theta}\right)^2 \right)=mgR(1-\cos{\theta})$$
$$\dfrac{1}{k}\cdot \left(\dfrac{kv\cdot \cos{\theta}}{1+k}\right)^2+\left( \left(\dfrac{v\cdot \cos{\theta}}{1+k}\right)^2+\left(v\cdot \sin{\theta}\right)^2 \right)=2gR(1-\cos{\theta})$$
$$v^2\left[\dfrac{\cos^2{\theta}}{(1+k)}+\sin^2{\theta}\right]=2gR(1-\cos{\theta})$$
$$\rightarrow \dfrac{v^2}{R}=\dfrac{2g(1-\cos{\theta})}{\left[\dfrac{\cos^2{\theta}}{(1+k)}+\sin^2{\theta}\right]}$$
Olhando agora no referencial da semiesfera para a atuação das forças:
$$mg\cos{\theta}-N=\dfrac{mv^2}{R}$$
Para a perda de contato a normal é zero:
$$mg\cos{\theta}-0=\dfrac{mv^2}{R}$$
$$\rightarrow \dfrac{v^2}{R}=g\cos{\theta}$$
Igualando as duas equações:
$$\dfrac{2g(1-\cos{\theta})}{\left[\dfrac{\cos^2{\theta}}{(1+k)}+\sin^2{\theta}\right]}=g\cos{\theta}$$
Para melhorar as contas, seja $$\beta=\cos{\theta}$$. Logo $$\sin^2{\theta}=1-\beta^2$$.
$$\dfrac{2(1-\beta)}{\left[\dfrac{\beta^2}{1+k}+1-\beta^2\right]}=\beta$$
Reorganizando as contas, chegamos a:
$$k \cdot \beta^3-3(1+k)\beta+2(1+k)=0$$
Visto que $$\beta=\cos{\theta}$$:
$$k\cdot \cos^3{\theta}-3(1+k)\cos{\theta}+2(1+k)=0$$
Vemos que os coeficientes são:
$$a=k$$, $$b=0$$, $$c=-3(1+k)$$ e $$d=2(1+k)$$
b) Para $$k=0$$:
$$-3\cos{\theta}+2=0$$
$$\rightarrow \cos{\theta}=\dfrac{2}{3}$$
Para $$k=1$$:
$$\cos^3{\theta}-6\cos{\theta}+4=0$$
$$(\cos{\theta}-2)(\cos^2{\theta}+2\cos{\theta}-2)=0$$
Como $$\cos{\theta}$$ não pode ser 2:
$$\cos^2{\theta}+2\cos{\theta}-2=0$$
$$\cos{\theta}=\dfrac{-2\pm \sqrt{12}}{2}$$
$$\cos{\theta}=\pm \sqrt{3}-1$$
Como $$-1\leq \cos{\theta}\leq 1$$:
$$\cos{\theta}=\sqrt{3}-1$$
c) Se o valor de $$k$$ tende ao infinito:
$$k\rightarrow 1+k$$
Logo:
$$\cos^3{\theta}-3\cos{\theta}+2=0$$
$$(\cos{\theta}-1)^2(\cos{\theta}+2)=0$$
$$\rightarrow \cos{\theta}=1$$
$$\rightarrow \theta=0$$
Portanto, quanto maior a razão entre as massas, menor será o ângulo para a perda de contato, tendendo a zero quando uma massa é muito maior que a outra.
[/spoiler][spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a)
$$a=k$$, $$b=0$$, $$c=-3(1+k)$$ e $$d=2(1+k)$$
b) Para $$k=0$$:
$$\cos{\theta}=\dfrac{2}{3}$$
Para $$k=1$$:
$$\cos{\theta}=\sqrt{3}-1$$
c) O ângulo tende a zero.
[/spoiler]
Avançado
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]Gravitação/ Conservação de energia e momento angular[/spoiler] [spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Inicialmente olhemos para o movimento do planeta em movimento circular. Neste corpo, a força gravitacional no planeta é a resultante centrípeta das forças.
Seja $$M$$ a massa da estrela, $$G$$ a cnstante gravitacional, e $$m$$ a massa dos corpos.
$$\vec {F_g}=\vec {F_{cp}}$$
$$\dfrac{GMm}{R^2}=m\omega^2R$$
$$\dfrac{GM}{R^2}=\left(\dfrac{2\pi}{T}\right)^2R$$
$$\sqrt{\dfrac{R^3}{GM}}=\dfrac{T}{2\pi}$$ $$(Eq$$ $$01)$$
Para o cometa não podemos fazer a mesma análise, pois o raio de curvatura para o movimento não necesssariamente é o raio vetor que liga o cometa à estrela.
Vejamos, portanto, a energia mecânica do cometa:
Figura 5
Seja $$r$$ a distância entre o planeta e a estrela.
A energia cinética do cometa é:
$$K=\dfrac{m\dot r^2}{2}+\dfrac{mr^2\dot{\theta}^2}{2}$$
onde $$\dot{theta}$$ é a velocidade angular com que o raio vetor que liga os corpos gira.
Como a força é apenas na direção radial, o momento angular do cometa é constante:
$$L=mr^2\dot{\theta}=cte$$
$$\dot{\theta}=\dfrac{L}{mr^2}$$
Substituindo na energia cinética:
$$K=\dfrac{m\dot r^2}{2}+\dfrac{mr^2}{2}\left(\dfrac{L}{mr^2}\right)^2$$
$$K=\dfrac{m\dot r^2}{2}+\dfrac{L^2}{2mr^2}$$
A energia mecânica então é:
$$E=K+U=\dfrac{m\dot r^2}{2}+\dfrac{L^2}{2mr^2}-\dfrac{GMm}{r}$$
Sabemos, porém, que a energia de um movimento parabólico é zero. Logo:
$$\dfrac{m\dot r^2}{2}+\dfrac{L^2}{2mr^2}-\dfrac{GMm}{r}=0$$; $$(Eq$$ $$02)$$
Para o momento de distância mínima($$r=p$$), a taxa de variação de raio ($$\dot r$$) deve ser nula. Portanto:
$$\dfrac{L^2}{2mp^2}-\dfrac{GMm}{p}=0$$
$$\rightarrow L=\sqrt{2GMm^2p}$$
Voltando para a $$(Eq$$ $$02)$$:
$$\dfrac{m\dot r^2}{2}+\dfrac{L^2}{2mr^2}-\dfrac{GMm}{r}=0$$
$$\dfrac{m\dot r^2}{2}+\dfrac{(\sqrt{2GMm^2p})^2}{2mr^2}-\dfrac{GMm}{r}=0$$
$$\dot r^2=(2GM)\dfrac{r-p}{r^2}$$
$$\dfrac{dr}{dt}=\pm \sqrt{2GM}\cdot \dfrac{\sqrt{r-p}}{r}$$
$$dt=\pm \dfrac{1}{\sqrt{2GM}}\dfrac{rdr}{\sqrt{r-p}}$$
Aqui o aluno pode cometer um erro ao esquecer esse $$\pm$$.
Voltando à Figura 5 podemos perceber que do ponto $$I$$ ao ponto $$R$$, o raio está diminuindo, e do ponto $$R$$ ao $$S$$ está aumentando, e como nosso intervalo de tempo deve ser positivo, devemos escolher onde começar a integral, e qual sinal utilizar.
Pela simetria, sabemos que no trajeto $$I-R$$ é o mesmo que no trajeto $$R-S$$. Como o raio está aumentando no trajeto $$R-S$$, basta multiplicar o tempo dessa passagem por 2.
$$\Delta t=\dfrac{2}{\sqrt{2GM}} \displaystyle \int_p^R \dfrac{rdr}{\sqrt{r-p}}$$
Vamos resolver a integral separadamente.
$$I=\displaystyle \int_p^R \dfrac{rdr}{\sqrt{r-p}}$$
Resolveremos essa integral utilizando a integração por partes:
$$U=r \rightarrow dU=dr$$ e $$dV=\dfrac{dr}{\sqrt{r-p}} \rightarrow V=2\sqrt{r-p}$$
Reorganizando:
$$I=\displaystyle \int UdV=UV-\displaystyle \int VdU$$
$$I=r\cdot(2\sqrt{r-p})-\displaystyle \int 2\sqrt{r-p}dr=2r\cdot\sqrt{r-p}-\dfrac{4}{3}(r-p)^{\frac{3}{2}}$$
$$I=\left[2r\sqrt{r-p}-\dfrac{4}{3}(r-p)^{\frac{3}{2}}\right]_p^R$$
$$\rightarrow I=\dfrac{2}{3}\sqrt{R^3}\left(1+\dfrac{2p}{R}\right)\sqrt{1-\dfrac{p}{R}}$$
Aplicando de volta para o tempo:
$$\Delta t=\dfrac{2}{\sqrt{2GM}} \cdot \dfrac{2}{3}\sqrt{R^3}\left(1+\dfrac{2p}{R}\right)\sqrt{1-\dfrac{p}{R}}$$
$$\Delta t=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\sqrt{\dfrac{R^3}{GM}}\left(1+\dfrac{2p}{R}\right)\sqrt{1-\dfrac{p}{R}}$$
Da $$(Eq$$ $$01)$$:
$$\Delta t=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\dfrac{T}{2\pi}\left(1+\dfrac{2p}{R}\right)\sqrt{1-\dfrac{p}{R}}$$
Chegamos, portanto, ao resultado:
$$\Delta t=\dfrac{\sqrt{2}}{3\pi}\left(1+\dfrac{2p}{R}\right)\sqrt{1-\dfrac{p}{R}}\cdot T$$
[/spoiler][spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Demonstração
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